1194
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Le début de la preuve est commun à (i) et (ii). On écrit la définition :
I
˜
G,E
M (π
, λ, X, f) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))SI
G
(ˆ s)
M (π
, λ, X, f
G
(ˆ s) ).
On écrit la formule de descente pour les termes du membre de droite et on obtient :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
˜
L ∈L
˜
G (ˆ s) ( ˜
R )
Y ∈A R ;Y M =X
e ˜
R ( ˜
M
, ˜
L
)SI
L
R (σ
, λ, Y, (f
G
(ˆ s) ) L ).
On remarque que dans les formules ci-dessus, (f
G
(ˆ s) ) L = 0 sauf si L
est une
donnée endoscopique elliptique pour un espace de Levi ˜
L de ˜
G. On regroupe
donc les termes correspondant à un espace de Levi ˜
L fixé. Nécessairement un tel
˜
L intervient s’il existe L
une de ses données endoscopiques elliptiques telle que
d ˜
R ( ˜
M
, ˜
L
) = 0. Comme en [II] 1.14, même si R
n’est pas une donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi de ˜
G, on pose ˆ
R l’unique sous-groupe de Levi
de ˆ
G tel que Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
R
)
ΓF ,0 . La condition sur L
se traduit alors par le
fait que A
ˆ
G
ˆ
R
est la somme directe de A
ˆ
M
ˆ
R
et de A
ˆ
L
ˆ
R
; en considérant les orthogonaux
de ces espaces dans A
˜
G
˜
R
, on obtient le fait que A
˜
G
˜
R
est la somme directe de A
˜
G
˜
M
avec
A
˜
G
˜
L
, ce qui est équivalent à la non nullité de d ˆ
R ( ˜
M , ˜
L). Réciproquement pour un
˜
L satisfaisant cela et pour L
une donnée endoscopique elliptique de ˜
L, on a aussi
d
˜
G
˜
R ( ˜
M
, ˜
L
) = 0 pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G contenant
M
et L
.
L’application naturelle de Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G) dans Z( ˆ
R)/Z( ˆ
L) est surjective et
donne encore une application surjective (cf X.4.1) de
(1)
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
L) ∩ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 .
Donc pour L
comme ci-dessus, l’ensemble des données endoscopiques elliptiques
G
contenant L
et M
est non vide.
On se place maintenant dans la situation de (i) ; ici R
est une donnée endoscopique elliptique relevante d’un espace de Levi ˜
R de ˜
M ; les facteurs de transfert
ont été normalisés à l’aide du couple ˜
M , M
, ils impliquent une normalisation pour
le couple ˜
R, R
(puisque ce couple est un ”espace” de Levi de ˜
M, M
) et donc une
normalisation directe pour le couple ˜
L, L
sans passer par l’un des couples ˜
G, G
(ˆ s)
et pour tout choix de ˆ
s, on a (f
G
(ˆ s) ) L = (f ˜
L )
L
(ˆ s
) où ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G)∩
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 a pour image ˆ
s
dans ˆ
s M Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
L) ∩ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 . Ainsi dans la
formule de descente écrite ci-dessus, G
(ˆ s) disparaît au profit de L
(ˆ s
) pour ˆ
s et
ˆ
s
ayant la propriété précédente. Il y a donc un calcul de coefficients à faire mais
qui a été fait en [II] 1.14 pour passer en (5) et (6). Ce calcul donne exactement le
résultat cherché comme en [II] 1.14.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Le début de la preuve est commun à (i) et (ii). On écrit la définition :
I
˜
G,E
M (π
, λ, X, f) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))SI
G
(ˆ s)
M (π
, λ, X, f
G
(ˆ s) ).
On écrit la formule de descente pour les termes du membre de droite et on obtient :
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
˜
L ∈L
˜
G (ˆ s) ( ˜
R )
Y ∈A R ;Y M =X
e ˜
R ( ˜
M
, ˜
L
)SI
L
R (σ
, λ, Y, (f
G
(ˆ s) ) L ).
On remarque que dans les formules ci-dessus, (f
G
(ˆ s) ) L = 0 sauf si L
est une
donnée endoscopique elliptique pour un espace de Levi ˜
L de ˜
G. On regroupe
donc les termes correspondant à un espace de Levi ˜
L fixé. Nécessairement un tel
˜
L intervient s’il existe L
une de ses données endoscopiques elliptiques telle que
d ˜
R ( ˜
M
, ˜
L
) = 0. Comme en [II] 1.14, même si R
n’est pas une donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi de ˜
G, on pose ˆ
R l’unique sous-groupe de Levi
de ˆ
G tel que Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
R
)
ΓF ,0 . La condition sur L
se traduit alors par le
fait que A
ˆ
G
ˆ
R
est la somme directe de A
ˆ
M
ˆ
R
et de A
ˆ
L
ˆ
R
; en considérant les orthogonaux
de ces espaces dans A
˜
G
˜
R
, on obtient le fait que A
˜
G
˜
R
est la somme directe de A
˜
G
˜
M
avec
A
˜
G
˜
L
, ce qui est équivalent à la non nullité de d ˆ
R ( ˜
M , ˜
L). Réciproquement pour un
˜
L satisfaisant cela et pour L
une donnée endoscopique elliptique de ˜
L, on a aussi
d
˜
G
˜
R ( ˜
M
, ˜
L
) = 0 pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G contenant
M
et L
.
L’application naturelle de Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G) dans Z( ˆ
R)/Z( ˆ
L) est surjective et
donne encore une application surjective (cf X.4.1) de
(1)
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
L) ∩ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 .
Donc pour L
comme ci-dessus, l’ensemble des données endoscopiques elliptiques
G
contenant L
et M
est non vide.
On se place maintenant dans la situation de (i) ; ici R
est une donnée endoscopique elliptique relevante d’un espace de Levi ˜
R de ˜
M ; les facteurs de transfert
ont été normalisés à l’aide du couple ˜
M , M
, ils impliquent une normalisation pour
le couple ˜
R, R
(puisque ce couple est un ”espace” de Levi de ˜
M, M
) et donc une
normalisation directe pour le couple ˜
L, L
sans passer par l’un des couples ˜
G, G
(ˆ s)
et pour tout choix de ˆ
s, on a (f
G
(ˆ s) ) L = (f ˜
L )
L
(ˆ s
) où ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G)∩
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 a pour image ˆ
s
dans ˆ
s M Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
L) ∩ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 . Ainsi dans la
formule de descente écrite ci-dessus, G
(ˆ s) disparaît au profit de L
(ˆ s
) pour ˆ
s et
ˆ
s
ayant la propriété précédente. Il y a donc un calcul de coefficients à faire mais
qui a été fait en [II] 1.14 pour passer en (5) et (6). Ce calcul donne exactement le
résultat cherché comme en [II] 1.14.