X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
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d’après [VII] 3.8 et 4.3 et [IX] 6.11, que l’on est en droit d’appliquer. On a donc
alors :
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
˜
L∈L( ˜
M); ˜
L = ˜
M
I
˜
L,E
M (π
M , λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f ))
+
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))I
M
M (π
M , λ, X,
c (Sθ)
G
(ˆ s)
M (f
G
(ˆ s) )).
La première somme de l’énoncé du lemme donne la première somme ci-dessus
excepté le terme correspondant à ˜
L = ˜
M qui (dans l’énoncé du lemme) est simplement
I
M
M (π
M , λ, X,
c θ
˜
G
˜
M
(f )
M
);
c’est-à-dire que ce terme manque dans la première somme ci-dessus. La deuxième
somme ci-dessus est exactement égale à
I
M
M (π
M , λ, X, (
c θ
˜
G,E
M )(f )).
On en déduit le lemme.
Propriétés de descente des caractères pondérés endoscopiques
Il faut un analogue de la proposition 1.14 de [II] pour les caractères pondérés endoscopiques à la place des intégrales orbitales pondérées endoscopiques. On fixe
M
une donnée endoscopique non elliptique de ˜
G comme dans le paragraphe précédent et on fixe π
une représentation stable de M
. On fixe aussi un sous-groupe
de Levi R
de M
. On peut définir R
à partir de M
mais même si il existe un
sous-espace de Levi ˜
R tel que R
en soit une donnée endoscopique elliptique rien
n’assure que R
est relevant. On fixe une représentation stable σ
de R
.
Pour la proposition ci-dessous, on suppose que π
est l’induite de σ
.
Proposition.
(i) On suppose que ˜
R existe de telle sorte que R
en soit une donnée endoscopique
elliptique relevante. Alors si F est un corps non-archimédien :
I
˜
G,E
M (π
, λ, X, f) =
˜
L∈L( ˜
R)
d ˜
R ( ˜
M , ˜
L)
Y
I
˜
L,E
R (σ
, λ, Y, f ˜
L ),
où l’on somme sur les Y ∈ A ˜
R ayant X pour projection dans A ˜
M ; si F est
un corps archimédien, la somme est une intégrale sur l’ensemble défini de
façon analogue.
(ii) On suppose que R
n’est pas une donnée endoscopique elliptique relevante
pour un sous-espace de Levi de ˜
M , alors I
˜
G,E
M (π
, λ, X, f) = 0.