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Chapitre X. Stabilisation spectrale
˜
M de ˜
G tel que M
soit une donnée endoscopique elliptique relevante de ˜
M . On
peut alors normaliser les facteurs de transfert, en fixant les facteurs de transfert
pour le couple ˜
M , M
de façon à poser pour tout f ∈ I( ˜
G) :
(1)
I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f)
:=
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /
Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ∩Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))SI
G
(ˆ s)
M (π
M , λ, X, f
G
(ˆ s) ).
C’est ce que l’on appelle le caractère pondéré endoscopique. On a aussi une variante
compacte :
(2)
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f)
:=
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /
Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ∩Z( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
c (SI)
G
(ˆ s)
M (π
M , λ, X, f
G
(ˆ s) ).
Lemme. Avec les deux premières hypothèses de récurrence géométriques de X.3.5,
pour tout λ tel que la distribution suivante est définie et pour tout X, on a l’égalité :
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f)
=
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
L,E
M (π
M , λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )) + I
M
M (π
M , λ, X, (
c θ
˜
G,E
M )(f ) − (
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
M
).
On utilise le lemme de X.4.3 pour écrire le terme de droite de (2) : d’où avec
les mêmes manipulations que dans cette référence
c I
˜
G,E
M (π
M , λ, X, f) =
˜
L∈L( ˜
M)
ˆ
s ˜
L ∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ ∩Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, L
(ˆ s ˜
L ))
c (SI)
L
(ˆ s ˜
L )
M
(π
M , λ, X, F (ˆ s ˜
L )),
où
F (ˆ s ˜
L ) :=
ˆ
s∈ˆ s ˜
L Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (ˆ s ˜
L ) ( ˜
G, G
(ˆ s))
c (Sθ)
G
(ˆ s)
L (ˆ s ˜
L ) (f
G
(s) ).
Ainsi F (ˆ s ˜
L ) =
c θ
˜
G,E
L (ˆ s ˜
L ) (f ). Tant que ˜
L = ˜
M , la deuxième hypothèse de récurrence
faite assure que l’on connaît la stabilisation géométrique. Ainsi on connaît aussi
l’égalité :
c θ
˜
G,E
L (ˆ s ˜
L ) (f ) = (
c θ
˜
G
˜
L
(f ))
L
(ˆ s ˜
L )