X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1191
Il suffit donc de montrer que le membre de gauche est nul. En utilisant les formules
de descente, on se ramène au cas où π est tempérée modulo le centre. On écrit la
définition :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) ).
Ce sont des coefficients de Fourier des distributions qui se déduisent de
c I(π λ , f)
de façon formelle. Par méromorphie, il suffit donc encore de considérer le cas où
π est tempérée (et non seulement tempérée modulo le centre). On a donc par
définition l’égalité :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π λ , f) =
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π λ , f
G
(s) ).
On sait que
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )) (cf. X.4.2). On admet par récurrence
pour tout s = 1 comme ci-dessus que
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π λ , , f
G
(s) ) = tr π λ (
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
M
(f
G
(s) ))
puisque l’égalité ci-dessus donne alors :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (F ), avec
F =
c θ
˜
G
˜
M
(f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
M
(f
G
(s) ).
Par définition F =
c (Sθ)
˜
G
˜
M
(f ) et on sait que si f est instable, l’image de F dans
SI( ˜
M ) est nulle. Comme π λ est une représentation stable par hypothèse, si f est instable, sa trace contre F est nulle. On a donc bien montré que
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
0 si f est instable ce qui termine la preuve de la proposition.
X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques
Définition
On fixe M
une donnée endoscopique non nécessairement elliptique de ˜
G ; on a
besoin de la notation ˆ
s M qui fait partie de la donnée. On fixe aussi π
M une représentation de M
. On entend par là que, si l’on fixe des données auxiliaires M
1 ,
C 1 etc. . . π
M s’identifie à une représentation de ˜
M
1 qui se transforme selon le
caractère λ 1 de C 1 (F ) déterminé par la situation. On suppose que cette représentation est stable. Pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G contenant M
comme espace de Levi, on sait définir le caractère pondéré invariant en tant que
distribution stable SI
G
M (π
M , λ, X, .). On suppose qu’il existe un espace de Levi
1191
Il suffit donc de montrer que le membre de gauche est nul. En utilisant les formules
de descente, on se ramène au cas où π est tempérée modulo le centre. On écrit la
définition :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) ).
Ce sont des coefficients de Fourier des distributions qui se déduisent de
c I(π λ , f)
de façon formelle. Par méromorphie, il suffit donc encore de considérer le cas où
π est tempérée (et non seulement tempérée modulo le centre). On a donc par
définition l’égalité :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π λ , f) =
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π λ , f
G
(s) ).
On sait que
c I
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )) (cf. X.4.2). On admet par récurrence
pour tout s = 1 comme ci-dessus que
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π λ , , f
G
(s) ) = tr π λ (
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
M
(f
G
(s) ))
puisque l’égalité ci-dessus donne alors :
c (SI)
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (F ), avec
F =
c θ
˜
G
˜
M
(f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
M
(f
G
(s) ).
Par définition F =
c (Sθ)
˜
G
˜
M
(f ) et on sait que si f est instable, l’image de F dans
SI( ˜
M ) est nulle. Comme π λ est une représentation stable par hypothèse, si f est instable, sa trace contre F est nulle. On a donc bien montré que
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
0 si f est instable ce qui termine la preuve de la proposition.
X.4.4 Les caractères pondérés endoscopiques
Définition
On fixe M
une donnée endoscopique non nécessairement elliptique de ˜
G ; on a
besoin de la notation ˆ
s M qui fait partie de la donnée. On fixe aussi π
M une représentation de M
. On entend par là que, si l’on fixe des données auxiliaires M
1 ,
C 1 etc. . . π
M s’identifie à une représentation de ˜
M
1 qui se transforme selon le
caractère λ 1 de C 1 (F ) déterminé par la situation. On suppose que cette représentation est stable. Pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G contenant M
comme espace de Levi, on sait définir le caractère pondéré invariant en tant que
distribution stable SI
G
M (π
M , λ, X, .). On suppose qu’il existe un espace de Levi