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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Considérons la somme correspondant à s ˜
L = 1 ; l’égalité (4) se remplace par la
tautologie
s∈Z( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
L ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L
(f
G
(s) ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f )
et on obtient que les termes correspondant à s ˜
L = 1 contribuent simplement par
SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )) −
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )).
En regroupant avec ce que l’on a trouvé ci-dessus, on voit que (3) vaut
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )) − SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )).
Avec le lemme de X.4.2 ceci n’est autre que
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) −
˜
L∈L( ˜
M)
SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )).
En revenant à la définition de
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) on obtient le lemme cherché.
Preuve de la stabilité
On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et une représentation stable π de ˜
M (on rappelle
que l’on est dans le cas de la torsion intérieure et que ω = 1).
Proposition. Les distributions f ∈ I( ˜
G) → SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) et f ∈ I( ˜
G) →
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) sont stables en tout point λ où elles sont définies
On fixe f ∈ I( ˜
G) et on suppose que les intégrales orbitales stables de f sont
toutes nulles, en bref, on dit qu’une telle fonction f est instable. On doit montrer
que SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = 0 et
c SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = 0. On reprend la formule du lemme
X.4.3 et son côté droit. Considérons le terme correspondant à ˜
L = ˜
G : d’après les
formules données, on a
c (Sθ)
˜
G
˜
G
=
c θ
˜
G
˜
G
(f ) = f . Ce terme est donc SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).
Considérons maintenant les termes SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )), pour ˜
L un espace de
Levi propre de ˜
G. Puisque f est instable, on sait que
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f ) = 0 dans SI( ˜
L).
Par récurrence on sait aussi que SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X, .) est une distribution stable. Ainsi
pour ˜
L = ˜
G, on a SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )) = 0 et l’égalité
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ).