X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
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Il a été montré en [VIII] 2.2 (dont la preuve est en [VIII] 4.2) et [IX] 6.1 (dont la
preuve est en [IX] 7.3) que cette application f →
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f ) est stable, c’est-à-dire
que
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f ) ne dépend que de l’image de f dans SI( ˜
G).
Lemme. Pour tout f ∈ I( ˜
G), on a l’égalité
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f )).
On écrit
(3)
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) )
en utilisant le lemme par récurrence puisque s = 1. On obtient :
˜
L∈L( ˜
M)
s ˜
L ∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F ,s ˜
L =1
s∈s ˜
L Z( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
˜
L
(s ˜
L )
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L (s ˜
L )
(f
G
(s) ))
+
˜
L∈L( ˜
M)
s∈Z( ˆ
L)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L
(f
G
(s) )),
où cette dernière somme correspond aux s ˜
L = 1 et en gardant évidemment l’hypothèse que s = 1. Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF et pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), on note s ˜
L l’image
de s modulo Z( ˆ
L)
ΓF . On a l’égalité :
i ˜
M ( ˜
G, G
(s)) = i ˜
M ( ˜
L, L
(s ˜
L ))i ˜
L ( ˜
G, G
(s)).
On est dans le cas de torsion intérieure, donc la stabilisation des intégrales orbitales est connue. Cela entraîne avec [VIII], 3.8 et 4.3 et [IX] 6.11 (A), qu’avec les
notations ci-dessus pour tout s ˜
L = 1 :
(4)
s∈s ˜
L Z( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
L ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L (s ˜
L )
(f
G
(s) ) =
c θ
˜
G
˜
L
(f )
L
(s ˜
L ) .
Donc la somme sur les s ˜
L = 1 ci-dessus est la somme des termes
i ˜
M ( ˜
L, L
(s ˜
L ))SI
˜
L
(s ˜
L )
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )
L
(s ˜
L ) ).
Par définition ceci n’est autre que
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )) − SI(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).