1188
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Par construction de φ
˜
L
˜
M
(f ), on a l’égalité : J
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (φ
˜
G
˜
M
(f )) et avec une
récurrence facile, on obtient l’égalité :
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = tr π λ
φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f ))
.
C’est exactement la formule (2) ci-dessus qui donne alors le lemme.
X.4.3 Le cas de la torsion intérieure
Les caractères pondérés invariants stables, premières définitions
On suppose ici que ˜
G est à torsion intérieure, c’est-à-dire que ˆ
θ = 1, ω = 1 et que
le groupe G est quasidéployé. Dans ce cas, on a besoin de définir les caractères
pondérés stables. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe π une représentation
de ˜
M , on définit pour X ∈ A ˜
M et λ ∈ A
∗
˜
M
général, la distribution f ∈ I( ˜
G) →
I
˜
G
˜
M
(π, X, λ, f ). La condition sur λ pour que cette distribution soit définie est que
λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas un réseau d’hyperplans. On suppose que π est stable. Pour
tout f ∈ I( ˜
G), on pose en recopiant les définitions de J. Arthur :
(1)
SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) := I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) )
Bien sûr cette définition n’a de sens que si les distributions SI
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, .)
sont stables. On l’admet par récurrence en remarquant que puisque si s = 1 le
groupe G
(s) est plus ”petit” que G et on doit évidemment montrer la stabilité de
SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, .) ce qui sera fait dans le paragraphe X.4.3 qui suit.
On a aussi défini les variantes compactes avec les mêmes propriétés de stabilité admises par récurrence pour G
(s) si s = 1 et à démontrer pour ˜
G. On pose
donc aussi pour tout f ∈ I( ˜
G) :
(2)
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) ).
Pour relier ces deux définitions, il faut utiliser les applications
c θ
˜
G
˜
L
et on pose pour
tout f ∈ I( ˜
G) :
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f ) :=
c θ
˜
G
˜
L
(f ) −
s∈Z( ˆ
L) ,Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
L ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L
(f
G
(s) ).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Par construction de φ
˜
L
˜
M
(f ), on a l’égalité : J
˜
G
˜
M
(π λ , f) = tr π λ (φ
˜
G
˜
M
(f )) et avec une
récurrence facile, on obtient l’égalité :
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = tr π λ
φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f ))
.
C’est exactement la formule (2) ci-dessus qui donne alors le lemme.
X.4.3 Le cas de la torsion intérieure
Les caractères pondérés invariants stables, premières définitions
On suppose ici que ˜
G est à torsion intérieure, c’est-à-dire que ˆ
θ = 1, ω = 1 et que
le groupe G est quasidéployé. Dans ce cas, on a besoin de définir les caractères
pondérés stables. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe π une représentation
de ˜
M , on définit pour X ∈ A ˜
M et λ ∈ A
∗
˜
M
général, la distribution f ∈ I( ˜
G) →
I
˜
G
˜
M
(π, X, λ, f ). La condition sur λ pour que cette distribution soit définie est que
λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas un réseau d’hyperplans. On suppose que π est stable. Pour
tout f ∈ I( ˜
G), on pose en recopiant les définitions de J. Arthur :
(1)
SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) := I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))SI
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) )
Bien sûr cette définition n’a de sens que si les distributions SI
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, .)
sont stables. On l’admet par récurrence en remarquant que puisque si s = 1 le
groupe G
(s) est plus ”petit” que G et on doit évidemment montrer la stabilité de
SI
˜
G
˜
M
(π, λ, X, .) ce qui sera fait dans le paragraphe X.4.3 qui suit.
On a aussi défini les variantes compactes avec les mêmes propriétés de stabilité admises par récurrence pour G
(s) si s = 1 et à démontrer pour ˜
G. On pose
donc aussi pour tout f ∈ I( ˜
G) :
(2)
c (SI)
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
−
s∈Z( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, G
(s))
c (SI)
˜
G
(s)
˜
M
(π, λ, X, f
G
(s) ).
Pour relier ces deux définitions, il faut utiliser les applications
c θ
˜
G
˜
L
et on pose pour
tout f ∈ I( ˜
G) :
c (Sθ)
˜
G
˜
L
(f ) :=
c θ
˜
G
˜
L
(f ) −
s∈Z( ˆ
L) ,Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
L ( ˜
G, G
(s))
c (Sθ)
˜
G
(s)
˜
L
(f
G
(s) ).