X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1187
On utilise la définition (1) pour calculer le membre de gauche et on applique
tout de suite le lemme par récurrence pour les termes faisant intervenir un espace
de Levi strictement inclus dans ˜
G à la place de ˜
G. On obtient
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
= J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) −
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L1 = ˜
G
˜
L2∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f ))).
On échange la somme sur ˜
L 1 et la somme sur ˜
L 2 et on a donc une somme sur les
espaces de Levi ˜
L 2 ∈ L( ˜
M ) vérifiant ˜
L 2 = ˜
G de −I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X, F 2,1 ) où
F 2,1 :=
˜
L1∈L( ˜
L2), ˜
L1 = ˜
G
c θ
˜
L1
˜
L2
(φ
˜
G
˜
L1
(f )).
Avec (2), on a F 2,1 = φ
˜
G
˜
L2
(f ) −
c θ
˜
G
˜
L2
(f ). Ainsi
(3)
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) −
˜
L2∈L( ˜
M); ˜
L2 = ˜
G
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X, φ
˜
G
˜
L2
(f ))
(4)
+
˜
L2∈L( ˜
M); ˜
L2 = ˜
G
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L2
(f )).
Le terme (3) est I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) par définition ; or
c θ
˜
G
˜
G
(f ) = f et en ajoutant (3)
et (4), on obtient le lemme.
Les caractères pondérés compacts des représentations tempérées
On suppose que π est une ω-représentation tempérée. Il a été vérifié en [IX] 5.11
que le coefficient de Fourier I
˜
M (π, X,
c θ
˜
G
˜
M
(f )) est la transformée de Fourier d’une
fonction sur iA
∗
˜
M
. Ceci n’est autre par définition que tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )). La fonction de
λ, tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )) se prolonge méromorphiquement en λ. On note I
˜
M (π λ ,
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
ce prolongement.
Lemme. On suppose que π est une ω-représentation tempérée ; on a l’égalité, pour
tout f ∈ I( ˜
G, ω), des fonctions méromorphes en λ
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = I
˜
M (π λ ,
c θ
˜
G
˜
M
(f )).
Chaque terme de l’égalité est une fonction méromorphe en λ et il suffit donc
de montrer l’égalité pour λ imaginaire. Sous cette hypothèse
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = J
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M
(π λ ,
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
1187
On utilise la définition (1) pour calculer le membre de gauche et on applique
tout de suite le lemme par récurrence pour les termes faisant intervenir un espace
de Levi strictement inclus dans ˜
G à la place de ˜
G. On obtient
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f )
= J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) −
˜
L1∈L( ˜
M), ˜
L1 = ˜
G
˜
L2∈L( ˜
M), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
L1
˜
L2
(
c φ
˜
G
˜
L1
(f ))).
On échange la somme sur ˜
L 1 et la somme sur ˜
L 2 et on a donc une somme sur les
espaces de Levi ˜
L 2 ∈ L( ˜
M ) vérifiant ˜
L 2 = ˜
G de −I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X, F 2,1 ) où
F 2,1 :=
˜
L1∈L( ˜
L2), ˜
L1 = ˜
G
c θ
˜
L1
˜
L2
(φ
˜
G
˜
L1
(f )).
Avec (2), on a F 2,1 = φ
˜
G
˜
L2
(f ) −
c θ
˜
G
˜
L2
(f ). Ainsi
(3)
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) −
˜
L2∈L( ˜
M); ˜
L2 = ˜
G
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X, φ
˜
G
˜
L2
(f ))
(4)
+
˜
L2∈L( ˜
M); ˜
L2 = ˜
G
I
˜
L2
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L2
(f )).
Le terme (3) est I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) par définition ; or
c θ
˜
G
˜
G
(f ) = f et en ajoutant (3)
et (4), on obtient le lemme.
Les caractères pondérés compacts des représentations tempérées
On suppose que π est une ω-représentation tempérée. Il a été vérifié en [IX] 5.11
que le coefficient de Fourier I
˜
M (π, X,
c θ
˜
G
˜
M
(f )) est la transformée de Fourier d’une
fonction sur iA
∗
˜
M
. Ceci n’est autre par définition que tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )). La fonction de
λ, tr π λ (
c θ
˜
G
˜
M
(f )) se prolonge méromorphiquement en λ. On note I
˜
M (π λ ,
c θ
˜
G
˜
M
(f ))
ce prolongement.
Lemme. On suppose que π est une ω-représentation tempérée ; on a l’égalité, pour
tout f ∈ I( ˜
G, ω), des fonctions méromorphes en λ
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = I
˜
M (π λ ,
c θ
˜
G
˜
M
(f )).
Chaque terme de l’égalité est une fonction méromorphe en λ et il suffit donc
de montrer l’égalité pour λ imaginaire. Sous cette hypothèse
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) = J
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M
(π λ ,
c φ
˜
G
˜
L
(f )).