1186
Chapitre X. Stabilisation spectrale
et on obtient que le côté droit vaut :
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)
Y ∈A ˜
R ,Y ˜
M =X
˜
L ∈L( ˜
R); ˜
L ˜
L
I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, φ
˜
L
˜
L (f ˜
L )).
Et on obtient le lemme.
Les caractères pondérés, variante compacte
Il est défini en [VIII] 1.4 et [IX] 5.8 une variante compacte de l’application φ
˜
G
˜
M
;
dans le cas où le corps local est archimédien, il y a deux variantes compacte et on
va utiliser celle construite à partir de
c φ ˜
M . C’est une application de I( ˜
G, ω) dans
I( ˜
M , ω). On pose
(1)
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) := J
˜
G
˜
M
(π λ , f) −
˜
L∈L( ˜
M); ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M
(π, λ,
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Cette distribution dépend méromorphiquement de λ et l’on n’a pas besoin de
prendre de coefficients de Fourier pour définir cette distribution car
c φ
˜
G
˜
L
préserve
le caractère compact du support.
Cette distribution vérifie une formule de descente, pour des représentations
induites, plus simple que sa variante non compacte : pour tout sous-espace de Levi
˜
R de ˜
M et pour toute ω représentation de ˜
R :
c I
˜
G
˜
M
(ind σ, λ, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d ˜
R ( ˜
L, ˜
M )
c I
˜
L
˜
R
(σ, λ, f ˜
L ).
Pour comparer cette distribution à celle déjà définie, on définit comme dans le
paragraphe précédent les coefficients de Fourier
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
μ∈iA ∗
˜
M
dμ
c I
˜
G
˜
M
(π, λ + μ, f )e
−(λ+μ)(X) .
Dans les références déjà mentionnées, il a été construit une application
c θ
˜
G
˜
M
de
I( ˜
G, ω) dans I ac ( ˜
G, ω) qui relie les définitions de φ
˜
G
˜
M
et
c φ
˜
G
˜
M
par la formule :
(2)
∀f ∈ I( ˜
G, ω),
c θ
˜
G
˜
M
(f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Cette application sert à relier les distributions définies ici et dans le paragraphe
précédent.
Lemme. Pour tout λ ∈ A
∗
˜
M
où les termes ci-dessous sont définis, on a l’égalité
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
et on obtient que le côté droit vaut :
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)
Y ∈A ˜
R ,Y ˜
M =X
˜
L ∈L( ˜
R); ˜
L ˜
L
I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, φ
˜
L
˜
L (f ˜
L )).
Et on obtient le lemme.
Les caractères pondérés, variante compacte
Il est défini en [VIII] 1.4 et [IX] 5.8 une variante compacte de l’application φ
˜
G
˜
M
;
dans le cas où le corps local est archimédien, il y a deux variantes compacte et on
va utiliser celle construite à partir de
c φ ˜
M . C’est une application de I( ˜
G, ω) dans
I( ˜
M , ω). On pose
(1)
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, f ) := J
˜
G
˜
M
(π λ , f) −
˜
L∈L( ˜
M); ˜
L = ˜
G
c I
˜
L
˜
M
(π, λ,
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Cette distribution dépend méromorphiquement de λ et l’on n’a pas besoin de
prendre de coefficients de Fourier pour définir cette distribution car
c φ
˜
G
˜
L
préserve
le caractère compact du support.
Cette distribution vérifie une formule de descente, pour des représentations
induites, plus simple que sa variante non compacte : pour tout sous-espace de Levi
˜
R de ˜
M et pour toute ω représentation de ˜
R :
c I
˜
G
˜
M
(ind σ, λ, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d ˜
R ( ˜
L, ˜
M )
c I
˜
L
˜
R
(σ, λ, f ˜
L ).
Pour comparer cette distribution à celle déjà définie, on définit comme dans le
paragraphe précédent les coefficients de Fourier
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
μ∈iA ∗
˜
M
dμ
c I
˜
G
˜
M
(π, λ + μ, f )e
−(λ+μ)(X) .
Dans les références déjà mentionnées, il a été construit une application
c θ
˜
G
˜
M
de
I( ˜
G, ω) dans I ac ( ˜
G, ω) qui relie les définitions de φ
˜
G
˜
M
et
c φ
˜
G
˜
M
par la formule :
(2)
∀f ∈ I( ˜
G, ω),
c θ
˜
G
˜
M
(f ) = φ
˜
G
˜
M
(f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
c θ
˜
L
˜
M
(
c φ
˜
G
˜
L
(f )).
Cette application sert à relier les distributions définies ici et dans le paragraphe
précédent.
Lemme. Pour tout λ ∈ A
∗
˜
M
où les termes ci-dessous sont définis, on a l’égalité
c I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X,
c θ
˜
G
˜
L
(f )).