X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1185
l’on n’intègre que sur iA
∗
˜
M
, on obtient une formule d’inversion de Fourier, que l’on
écrit dans le cas d’un corps de base non-archimédien :
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M )
Z∈A
˜
M
˜
R
J
˜
L
˜
R
(σ λ , X + Z, f ˜
L ).
Autrement dit, on a la même formule que dans l’énoncé avec les distributions J
au lieu de I. D’après les définitions, il suffit donc d’obtenir une formule analogue
pour
˜
L
I
˜
L
˜
M
(ind σ, λ, X, φ
˜
G
˜
L (f )),
où l’on somme sur les espaces de Levi propres ˜
L
contenant ˜
M . Soit ˜
L
∈ L( ˜
M ) un
tel espace de Levi ; on considère I
˜
L
˜
M
(ind σ, λ, X, φ
˜
G
˜
L (f )). On applique la formule
de l’énoncé par récurrence à ce terme, ce qui est loisible car on peut restreindre
φ
˜
G
˜
L (f ) à l’ensemble des γ ∈ ˜
L
tels que H ˜
L (γ) = X ˜
L et alors la fonction ainsi
restreinte est à support compact. On obtient :
I
˜
L
˜
M
(ind σ, λ, X, φ
˜
G
˜
L (f ))
=
˜
L ∈L(R), ˜
L ⊂ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
L
, ˜
M )
Y ∈A ˜
R ;Y ˜
M =X
I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, (φ
˜
G
˜
L )(f ) ˜
L ).
Il faut encore utiliser la formule de scindage pour les termes (φ
˜
G
˜
L )(f ) ˜
L donnée en
[81] 6.4 (11) :
(φ
˜
G
˜
L )(f ) ˜
L =
˜
L∈L( ˜
R); ˜
L ⊂ ˜
L
d
˜
G
˜
L ( ˜
L
, ˜
L)(φ
˜
L
˜
L )(f ˜
L ).
D’où
˜
L ∈L( ˜
M); ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(ind σ, λ, X, φ
˜
G
˜
L (f ))
=
˜
L∈L( ˜
R)
˜
L , ˜
L ∈L( ˜
R); ˜
L = ˜
G, ˜
L ⊂ ˜
L ∩ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L
)d
˜
G
˜
L ( ˜
L
, ˜
L)
Y ∈A ˜
R ;Y ˜
M =X
I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, φ
˜
L
˜
L (f ˜
L )).
Dans la somme de droite on fait disparaître ˜
L
en utilisant [II] 1.7 (5) : l’ensemble
B de [II] 1.7 est ici celui des triplets ( ˜
L, ˜
L
, ˜
L
) (au lieu de ( ˜
L
, ˜
R
, ˜
R) in [II] 1.7),
˜
R ici joue le rôle de ˜
M in [II] 1.7 et ˜
M ici joue le rôle de ˜
L in [II] 1.7. On a en
particulier l’égalité
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L
)d
˜
G
˜
L ( ˜
L
, ˜
L).