1184
Chapitre X. Stabilisation spectrale
où encore λ est tel que λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas un réseau d’hyperplans dépendant
de π et où φ
˜
G
˜
L
est l’application de I( ˜
G, ω) dans I ac ( ˜
L, ω) définie par la proposition
de [81] 6.4.
La propriété qui résulte de la définition des fonctions φ
˜
G
˜
L
est que pour tout
π tempérée, pour tout X ∈ A ˜
M et tout f ∈ I( ˜
G, ω), I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = 0 si λ est
imaginaire. De plus dans tous les cas, I(π, λ, X, f ) ne dépend que de la restriction
de f à l’ensemble des éléments γ ∈ ˜
G tels que H ˜
G (γ) = X. Et en tant que fonction
de λ, I(π, λ, X, f ) est une fonction localement constante mais non partout définie.
Lemme (formule de descente). On fixe ˜
R un sous-espace de Levi de ˜
M et on
suppose qu’il existe une ω représentation de ˜
R telle que π soit l’induite de σ.
Alors, on a pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et pour tout X ∈ A ˜
M
I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M )
Y ∈A ˜
R ;Y ˜
M =X
dY I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, f ˜
L ),
formule qui mérite les explications ci-dessous.
D’abord on commence par remarquer que si la place considérée est non archimédienne, l’intégrale est une somme finie : en effet, il n’y a qu’un nombre fini
d’éléments dans L( ˜
R) et le coefficient d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M ) est non nul seulement si l’application naturelle de A
˜
L
˜
R
⊕ A
˜
M
˜
R
dans A
˜
G
˜
R
est un isomorphisme. Ainsi on somme sur
Y ∈ X + A
˜
M
˜
R
et sur cet ensemble la projection orthogonale Y → Y ˜
L dans A ˜
L est
injective : en effet le noyau est A
˜
L
˜
R
∩ A
˜
M
˜
R
qui est nul d’après ce que l’on vient de
voir. Ainsi dans la somme sur les Y la composante de Y dans A ˜
M est fixée et par
contre la composante de Y sur A
˜
G
˜
L
est laissée libre ; mais cette dernière composante concerne le centre de ˜
L et f ˜
L est à support compact. D’où la finitude. Dans
le cas archimédien, le même argument dit que l’intégrale porte sur un compact,
elle est donc bien définie.
Montrons le résultat cherché : on part de la formule de descente pour les
caractères pondérés non invariants donnée en [81] 5.4 (iv) (comme les termes ne
sont pas invariants, il faut des données auxiliaires pour définir les termes constants
comme ceci est expliqué en [81]) :
J
˜
G
˜
M
(ind σ λ , f) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M )J
˜
L
˜
R
(σ λ , f ˜
L ).
On intègre cette formule sur iA
∗
˜
M
:
횿
μ∈iA ∗
˜
M
dμ J
˜
G
˜
M
(ind σ λ+μ , f)e
−(λ+μ)(X) = J
˜
G
˜
M
(ind σ λ , X, f)
car c’est la définition. Pour traiter le côté droit, on reprend la définition pour
˜
L ∈ L( ˜
R) et pour Z ∈ A ˜
R de J
˜
G
˜
R
(σ λ , Z, f ˜
L ) comme une intégrale sur iA
∗
˜
R
. Puisque
Chapitre X. Stabilisation spectrale
où encore λ est tel que λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas un réseau d’hyperplans dépendant
de π et où φ
˜
G
˜
L
est l’application de I( ˜
G, ω) dans I ac ( ˜
L, ω) définie par la proposition
de [81] 6.4.
La propriété qui résulte de la définition des fonctions φ
˜
G
˜
L
est que pour tout
π tempérée, pour tout X ∈ A ˜
M et tout f ∈ I( ˜
G, ω), I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) = 0 si λ est
imaginaire. De plus dans tous les cas, I(π, λ, X, f ) ne dépend que de la restriction
de f à l’ensemble des éléments γ ∈ ˜
G tels que H ˜
G (γ) = X. Et en tant que fonction
de λ, I(π, λ, X, f ) est une fonction localement constante mais non partout définie.
Lemme (formule de descente). On fixe ˜
R un sous-espace de Levi de ˜
M et on
suppose qu’il existe une ω représentation de ˜
R telle que π soit l’induite de σ.
Alors, on a pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et pour tout X ∈ A ˜
M
I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M )
Y ∈A ˜
R ;Y ˜
M =X
dY I
˜
L
˜
R
(σ, λ, Y, f ˜
L ),
formule qui mérite les explications ci-dessous.
D’abord on commence par remarquer que si la place considérée est non archimédienne, l’intégrale est une somme finie : en effet, il n’y a qu’un nombre fini
d’éléments dans L( ˜
R) et le coefficient d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M ) est non nul seulement si l’application naturelle de A
˜
L
˜
R
⊕ A
˜
M
˜
R
dans A
˜
G
˜
R
est un isomorphisme. Ainsi on somme sur
Y ∈ X + A
˜
M
˜
R
et sur cet ensemble la projection orthogonale Y → Y ˜
L dans A ˜
L est
injective : en effet le noyau est A
˜
L
˜
R
∩ A
˜
M
˜
R
qui est nul d’après ce que l’on vient de
voir. Ainsi dans la somme sur les Y la composante de Y dans A ˜
M est fixée et par
contre la composante de Y sur A
˜
G
˜
L
est laissée libre ; mais cette dernière composante concerne le centre de ˜
L et f ˜
L est à support compact. D’où la finitude. Dans
le cas archimédien, le même argument dit que l’intégrale porte sur un compact,
elle est donc bien définie.
Montrons le résultat cherché : on part de la formule de descente pour les
caractères pondérés non invariants donnée en [81] 5.4 (iv) (comme les termes ne
sont pas invariants, il faut des données auxiliaires pour définir les termes constants
comme ceci est expliqué en [81]) :
J
˜
G
˜
M
(ind σ λ , f) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
L, ˜
M )J
˜
L
˜
R
(σ λ , f ˜
L ).
On intègre cette formule sur iA
∗
˜
M
:
횿
μ∈iA ∗
˜
M
dμ J
˜
G
˜
M
(ind σ λ+μ , f)e
−(λ+μ)(X) = J
˜
G
˜
M
(ind σ λ , X, f)
car c’est la définition. Pour traiter le côté droit, on reprend la définition pour
˜
L ∈ L( ˜
R) et pour Z ∈ A ˜
R de J
˜
G
˜
R
(σ λ , Z, f ˜
L ) comme une intégrale sur iA
∗
˜
R
. Puisque