X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1183
Supposons maintenant que c
V provienne d’une donnée endoscopique M
de
˜
M , ω, avec M
= M . Alors on a encore donné une formule explicite pour r
˜
G
˜
M
(c
V , λ)
comme somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. Ces termes
sont sommes de dérivées logarithmiques
L
V
G (ˆ s) (α
, c
V
λ , 0)/L
V
G (ˆ s)) (α
, c
V
λ , 0) + L
V
G (ˆ s) (−α
, c
V
λ , 0)/L
V
G (ˆ s) (−α
, c
V
λ , 0)
où G
(ˆ s) est une donnée endoscopique de ˜
G et où α
est une racine convenable
pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF dans ˆ
G
(ˆ s). En raisonnant par récurrence, chacune de
ces fonctions vérifie la propriété de l’énoncé.
On passe maintenant au cas général. On revient à la formule (1) de X.4.1 ;
pour tout couple ˜
L, ˜
L
y intervenant, on peut appliquer le lemme par récurrence
puisque l’on a déjà démontré le cas des espaces de Levi maximaux ; le fait que
d ˜
M ( ˜
L, ˜
L
) soit non nul, entraîne la décomposition en somme directe :
i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
G
) = i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
L
) ⊕ i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
L ).
Donc l’intégration en λ se décompose en produit d’intégrations et chacune d’elle
est convergente. Cela entraîne le lemme.
X.4.2 Caractères pondérés invariants
Dans tout ce paragraphe le corps de base est local.
Rappel des définitions
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. On voit λ comme un caractère
de ˜
M ce qui nécessite d’avoir choisi une application H ˜
M de ˜
M /M
1 dans A ˜
M . On
fixe donc une telle application comme en [II] 1.6.
Soit encore π une ω représentation de ˜
M . On a défini pour tout f ∈ I( ˜
G, ω),
la fonction méromorphe de λ : J
˜
G
˜
M
(π λ , f). Soit X ∈ A ˜
M ; pour tout espace de Levi
˜
L contenant ˜
M , on note X ˜
L la projection de X sur A ˜
L . Pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
tel
que λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas les hyperplans singuliers de la fonction J
˜
G
˜
M
(π λ , f), on
pose :
J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
μ∈λ+iA ∗
˜
M
dμ e
−μ(X) J(π μ , f).
Cette fonction de λ, est localement constante sur son espace de définition ; elle
ne dépend que de la restriction de f à l’ensemble des éléments γ ∈ ˜
G tels que
H ˜
G (γ) = X. Cette distribution s’étend donc aux éléments de I ac ( ˜
G, ω) et cela
permet de définir, par induction, les distributions invariantes :
f ∈ I ac ( ˜
G, ω) → I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =: J
˜
G
˜
M
(π λ , X, f) −
˜
L∈E
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X, φ
˜
G
˜
L
(f )),
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Supposons maintenant que c
V provienne d’une donnée endoscopique M
de
˜
M , ω, avec M
= M . Alors on a encore donné une formule explicite pour r
˜
G
˜
M
(c
V , λ)
comme somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. Ces termes
sont sommes de dérivées logarithmiques
L
V
G (ˆ s) (α
, c
V
λ , 0)/L
V
G (ˆ s)) (α
, c
V
λ , 0) + L
V
G (ˆ s) (−α
, c
V
λ , 0)/L
V
G (ˆ s) (−α
, c
V
λ , 0)
où G
(ˆ s) est une donnée endoscopique de ˜
G et où α
est une racine convenable
pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF dans ˆ
G
(ˆ s). En raisonnant par récurrence, chacune de
ces fonctions vérifie la propriété de l’énoncé.
On passe maintenant au cas général. On revient à la formule (1) de X.4.1 ;
pour tout couple ˜
L, ˜
L
y intervenant, on peut appliquer le lemme par récurrence
puisque l’on a déjà démontré le cas des espaces de Levi maximaux ; le fait que
d ˜
M ( ˜
L, ˜
L
) soit non nul, entraîne la décomposition en somme directe :
i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
G
) = i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
L
) ⊕ i(A
∗
˜
M
/A
∗
˜
L ).
Donc l’intégration en λ se décompose en produit d’intégrations et chacune d’elle
est convergente. Cela entraîne le lemme.
X.4.2 Caractères pondérés invariants
Dans tout ce paragraphe le corps de base est local.
Rappel des définitions
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. On voit λ comme un caractère
de ˜
M ce qui nécessite d’avoir choisi une application H ˜
M de ˜
M /M
1 dans A ˜
M . On
fixe donc une telle application comme en [II] 1.6.
Soit encore π une ω représentation de ˜
M . On a défini pour tout f ∈ I( ˜
G, ω),
la fonction méromorphe de λ : J
˜
G
˜
M
(π λ , f). Soit X ∈ A ˜
M ; pour tout espace de Levi
˜
L contenant ˜
M , on note X ˜
L la projection de X sur A ˜
L . Pour tout λ ∈ A
∗
˜
M,C
tel
que λ + iA
∗
˜
M
ne coupe pas les hyperplans singuliers de la fonction J
˜
G
˜
M
(π λ , f), on
pose :
J
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) :=
μ∈λ+iA ∗
˜
M
dμ e
−μ(X) J(π μ , f).
Cette fonction de λ, est localement constante sur son espace de définition ; elle
ne dépend que de la restriction de f à l’ensemble des éléments γ ∈ ˜
G tels que
H ˜
G (γ) = X. Cette distribution s’étend donc aux éléments de I ac ( ˜
G, ω) et cela
permet de définir, par induction, les distributions invariantes :
f ∈ I ac ( ˜
G, ω) → I
˜
G
˜
M
(π, λ, X, f ) =: J
˜
G
˜
M
(π λ , X, f) −
˜
L∈E
I
˜
L
˜
M
(π, λ, X, φ
˜
G
˜
L
(f )),