1182
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Version endoscopique des caractères pondérés. On revient à la situation de ˜
G général considérée ci-dessus et on suppose que c
V provient d’une donnée endoscopique
M
de ˜
M , ω. On pose :
r
˜
G,E
M (A, c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G(ˆ s)
M (A, c
V , λ).
Proposition. On a l’égalité entre fonctions méromorphes
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) = r
˜
G,E
M (A, c
V , λ).
On a déjà montré la proposition dans le cas des espaces de Levi maximaux.
Et pour la montrer en toute généralité, il suffit donc de démontrer que la fonction
r
˜
G,E
M (c
V , λ) vérifie la même formule de descente écrite en (1) que r
˜
G
˜
M
(c
V , λ). C’est
la combinatoire de [81] 1.14 (i) (dans le cas non tordu c’est le paragraphe 6 de [16]).
Définition. On pose r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) := r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) et s
˜
G
˜
M
(c
V , λ) := s
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ), où A
est exactement la réunion des caractères non triviaux pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
agissant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G.
Une propriété de croissance
On généralise dans ce paragraphe le lemme 3.2 de [18].
Lemme. Soit c
V un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique
de ˜
M (A
V
F ). La fonction de λ, r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) définie dans le paragraphe précédent
est holomorphe sur l’axe imaginaire et comme fonction de λ ∈ iA
∗
˜
M
c’est une
distribution tempérée ce qui veut dire qu’il existe un nombre entier N tel que
r
˜
G
˜
M
(c
V , λ)(1 + λ)
−N soit intégrable en λ.
On commence par considérer le cas où ˜
M est un espace de Levi maximal et on
va se ramener aux résultats du cas non tordu démontrés par J. Arthur. Supposons
d’abord c
V automorphe. On a donné une formule explicite pour r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) comme
somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. De plus chacun de ces
termes est lui-même somme de dérivées logarithmiques
L
V
G (β, c
V
λ , 0)/L
V
G) (β, c
V
λ , 0) + L
V
G (−β, c
V
λ , 0)/L
V
G (−β, c
V
λ , 0)
où β parcourt l’ensemble des caractères non triviaux de Z( ˆ
M )
ΓF qui interviennent
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Il suffit donc d’avoir le résultat pour une telle fonction.
Il suffit d’appliquer le résultat de [18] 3.2. Plus exactement, ce résultat s’applique
à une somme sur différents β et non pas à une fonction indépendamment. Ce
problème est résolu dans la preuve de la proposition 1 de [15] où il est montré que
quitte à changer encore de groupe on se ramène facilement au cas où la somme est
réduite à un seul terme.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Version endoscopique des caractères pondérés. On revient à la situation de ˜
G général considérée ci-dessus et on suppose que c
V provient d’une donnée endoscopique
M
de ˜
M , ω. On pose :
r
˜
G,E
M (A, c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G(ˆ s)
M (A, c
V , λ).
Proposition. On a l’égalité entre fonctions méromorphes
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) = r
˜
G,E
M (A, c
V , λ).
On a déjà montré la proposition dans le cas des espaces de Levi maximaux.
Et pour la montrer en toute généralité, il suffit donc de démontrer que la fonction
r
˜
G,E
M (c
V , λ) vérifie la même formule de descente écrite en (1) que r
˜
G
˜
M
(c
V , λ). C’est
la combinatoire de [81] 1.14 (i) (dans le cas non tordu c’est le paragraphe 6 de [16]).
Définition. On pose r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) := r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) et s
˜
G
˜
M
(c
V , λ) := s
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ), où A
est exactement la réunion des caractères non triviaux pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
agissant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G.
Une propriété de croissance
On généralise dans ce paragraphe le lemme 3.2 de [18].
Lemme. Soit c
V un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique
de ˜
M (A
V
F ). La fonction de λ, r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) définie dans le paragraphe précédent
est holomorphe sur l’axe imaginaire et comme fonction de λ ∈ iA
∗
˜
M
c’est une
distribution tempérée ce qui veut dire qu’il existe un nombre entier N tel que
r
˜
G
˜
M
(c
V , λ)(1 + λ)
−N soit intégrable en λ.
On commence par considérer le cas où ˜
M est un espace de Levi maximal et on
va se ramener aux résultats du cas non tordu démontrés par J. Arthur. Supposons
d’abord c
V automorphe. On a donné une formule explicite pour r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) comme
somme de dérivées logarithmiques de fonctions L-partielles. De plus chacun de ces
termes est lui-même somme de dérivées logarithmiques
L
V
G (β, c
V
λ , 0)/L
V
G) (β, c
V
λ , 0) + L
V
G (−β, c
V
λ , 0)/L
V
G (−β, c
V
λ , 0)
où β parcourt l’ensemble des caractères non triviaux de Z( ˆ
M )
ΓF qui interviennent
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Il suffit donc d’avoir le résultat pour une telle fonction.
Il suffit d’appliquer le résultat de [18] 3.2. Plus exactement, ce résultat s’applique
à une somme sur différents β et non pas à une fonction indépendamment. Ce
problème est résolu dans la preuve de la proposition 1 de [15] où il est montré que
quitte à changer encore de groupe on se ramène facilement au cas où la somme est
réduite à un seul terme.