X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1181
Stabilisation dans le cas non ramifié
Le caractère pondéré dans le cas non ramifié et pour un espace de Levi qui n’est
pas maximal se calcule par une formule de descente que l’on va récrire.
On fixe V un ensemble fini de places contenant V ram et un espace de Levi ˜
M .
Soit c
V un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique de ˜
M (A
V
F ).
Pour un caractère α de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 intervenant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G, on a déjà
défini r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ) dans le cas où ˜
M était un espace de Levi propre maximal de
˜
G. Si cette condition n’est pas vérifiée, on pose r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ) = 0. En remplaçant
˜
G par ˜
L, on a ainsi défini r
˜
L
˜
M
(α, c
V , λ) comme fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
pour tout espace de Levi ˜
L contenant ˜
M .
Formule de descente. Soit A un ensemble de caractères de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 intervenant
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Si A est réduit à un seul élément α, on pose
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) := r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ).
En général, soit A = A 1 ∪ A 2 une décomposition de A. On pose alors en utilisant
les définitions par récurrence :
(1)
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) :=
˜
L, ˜
L ∈L( ˜
M)
d ˜
M ( ˜
L, ˜
L
)r
˜
L
˜
M
(A 1 , c
V , λ)r
˜
L
˜
M
(A 2 , c
V , λ),
ce qui donne une définition. Il faut évidemment remarquer que le membre de
gauche est aussi celui qui est associé à la ˜
G, ˜
M -famille formée avec les fonctions
L partielles définies avec les éléments de A comme dans le paragraphe 4 de [15]
et ainsi la définition du membre de gauche ne dépend pas de la décomposition
A = A 1 ∪ A 2 choisie. C’est la formule de descente pour les ˜
G, ˜
M familles couplée
au lemme 7.1 de [3] dans le cas non tordu et [55] lemme 2.10.2.
Version stable des caractères pondérés. Dans le cas où ˜
G est à torsion intérieure
avec un groupe sous-jacent quasi-déployé et un caractère trivial, on a une formule
de descente pour le caractère pondéré stable. On pose, avec A = A 1 ∪ A 2 comme
ci-dessus.
(2)
s
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) =
˜
L, ˜
L ∈L( ˜
M)
e ˜
M ( ˜
L, ˜
L
)s
˜
L
˜
M
(A 1 , c
V , λ)s
˜
L
˜
M
(A 2 , c
V , λ).
Comme on a défini les caractères pondérés stables dans le cas d’un espace de Levi
maximal, cela donne une définition en toute généralité qui a priori dépend de la
décomposition. Cette définition coïncide avec celle de [15] theorem 5 dans les cas
déjà connus, c’est à dire les cas où il n’y a pas de torsion et quand on aura démontré
la proposition ci-dessous, on aura en prime que la définition est indépendante de
la décomposition de A. Ici encore, la définition passe au formalisme des données
endoscopiques.
1181
Stabilisation dans le cas non ramifié
Le caractère pondéré dans le cas non ramifié et pour un espace de Levi qui n’est
pas maximal se calcule par une formule de descente que l’on va récrire.
On fixe V un ensemble fini de places contenant V ram et un espace de Levi ˜
M .
Soit c
V un caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke sphérique de ˜
M (A
V
F ).
Pour un caractère α de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 intervenant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G, on a déjà
défini r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ) dans le cas où ˜
M était un espace de Levi propre maximal de
˜
G. Si cette condition n’est pas vérifiée, on pose r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ) = 0. En remplaçant
˜
G par ˜
L, on a ainsi défini r
˜
L
˜
M
(α, c
V , λ) comme fonction méromorphe de λ ∈ A
∗
˜
M,C
pour tout espace de Levi ˜
L contenant ˜
M .
Formule de descente. Soit A un ensemble de caractères de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 intervenant
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Si A est réduit à un seul élément α, on pose
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) := r
˜
G
˜
M
(α, c
V , λ).
En général, soit A = A 1 ∪ A 2 une décomposition de A. On pose alors en utilisant
les définitions par récurrence :
(1)
r
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) :=
˜
L, ˜
L ∈L( ˜
M)
d ˜
M ( ˜
L, ˜
L
)r
˜
L
˜
M
(A 1 , c
V , λ)r
˜
L
˜
M
(A 2 , c
V , λ),
ce qui donne une définition. Il faut évidemment remarquer que le membre de
gauche est aussi celui qui est associé à la ˜
G, ˜
M -famille formée avec les fonctions
L partielles définies avec les éléments de A comme dans le paragraphe 4 de [15]
et ainsi la définition du membre de gauche ne dépend pas de la décomposition
A = A 1 ∪ A 2 choisie. C’est la formule de descente pour les ˜
G, ˜
M familles couplée
au lemme 7.1 de [3] dans le cas non tordu et [55] lemme 2.10.2.
Version stable des caractères pondérés. Dans le cas où ˜
G est à torsion intérieure
avec un groupe sous-jacent quasi-déployé et un caractère trivial, on a une formule
de descente pour le caractère pondéré stable. On pose, avec A = A 1 ∪ A 2 comme
ci-dessus.
(2)
s
˜
G
˜
M
(A, c
V , λ) =
˜
L, ˜
L ∈L( ˜
M)
e ˜
M ( ˜
L, ˜
L
)s
˜
L
˜
M
(A 1 , c
V , λ)s
˜
L
˜
M
(A 2 , c
V , λ).
Comme on a défini les caractères pondérés stables dans le cas d’un espace de Levi
maximal, cela donne une définition en toute généralité qui a priori dépend de la
décomposition. Cette définition coïncide avec celle de [15] theorem 5 dans les cas
déjà connus, c’est à dire les cas où il n’y a pas de torsion et quand on aura démontré
la proposition ci-dessous, on aura en prime que la définition est indépendante de
la décomposition de A. Ici encore, la définition passe au formalisme des données
endoscopiques.