1180
Chapitre X. Stabilisation spectrale
neutre du groupe Ker(α) est incluse dans Z( ˆ
G)
ΓF et donc dans Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 .
On pose
s
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) = | Ker(α)/Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 )|
−1 d
˜
G (α)r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0);
et dans le cas que l’on considère ici où ˜
M est un espace de Levi maximal de ˜
G, on
pose aussi
s
˜
G
˜
M
(c
V , λ) =
α
s
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ),
où α parcourt l’ensemble des caractères de Z( ˆ
M )
ΓF (ici, dans le cas de torsion intérieure, ˆ
θ est trivial) agissant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Et cette définition coïncide
avec celle du cas non tordu quand ˜
G = G, ce qui est indispensable, évidemment,
précisément parce que l’on a repris la définition de [15]. La définition précédente
s’adapte au formalisme des données endoscopiques, ce qui donne naissance aux
fonctions qui interviennent ci-dessous.
Lemme. Sans hypothèse sur ˜
G, ω, supposons que c
V provienne d’une donnée endoscopique M
de ˜
M , ω. Alors
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G
(ˆ s)
M (α
, c
V
λ ).
D’où l’égalité de fonctions méromorphes :
r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G
(ˆ s)
M (c
V , λ).
Pour ˆ
s intervenant dans cette somme, tel que α soit aussi une racine dans
ˆ
G
(ˆ s) notée α
, l’isomorphisme A
˜
G
˜
M
A
˜
G
(ˆ s)
˜
M
préserve les mesures par définitions
et il envoie dα sur dα
. Donc d
˜
G (α) = d
˜
G
(ˆ s) (α
). De X.4.1, on a la formule
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ / Ker(α)
(r
˜
G
(ˆ s) )
(α
, c
V
λ , 0)/r
˜
G
(ˆ s) (α
, c
V
λ , 0).
On peut sommer sur ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 à condition de
mettre devant chaque terme le bon coefficient, c’est-à-dire | Ker(α)/Z( ˆ
G)
ΓF
∩
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1 . Il faut donc montrer pour tout ˆ
s fixé, l’égalité
(1)
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
= | Ker(α)/Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1
| Ker(α
)/Z( ˆ
G
(ˆ s)) ∩ Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 )|.
Evidemment Ker(α) = Ker(α
). Ainsi (1) vaut
|Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G
(ˆ s)) ∩ Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 )|.
Par ellipticité Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 et on trouve i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s)) d’après X.4.1.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
neutre du groupe Ker(α) est incluse dans Z( ˆ
G)
ΓF et donc dans Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 .
On pose
s
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) = | Ker(α)/Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 )|
−1 d
˜
G (α)r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0);
et dans le cas que l’on considère ici où ˜
M est un espace de Levi maximal de ˜
G, on
pose aussi
s
˜
G
˜
M
(c
V , λ) =
α
s
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ),
où α parcourt l’ensemble des caractères de Z( ˆ
M )
ΓF (ici, dans le cas de torsion intérieure, ˆ
θ est trivial) agissant dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. Et cette définition coïncide
avec celle du cas non tordu quand ˜
G = G, ce qui est indispensable, évidemment,
précisément parce que l’on a repris la définition de [15]. La définition précédente
s’adapte au formalisme des données endoscopiques, ce qui donne naissance aux
fonctions qui interviennent ci-dessous.
Lemme. Sans hypothèse sur ˜
G, ω, supposons que c
V provienne d’une donnée endoscopique M
de ˜
M , ω. Alors
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G
(ˆ s)
M (α
, c
V
λ ).
D’où l’égalité de fonctions méromorphes :
r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))s
G
(ˆ s)
M (c
V , λ).
Pour ˆ
s intervenant dans cette somme, tel que α soit aussi une racine dans
ˆ
G
(ˆ s) notée α
, l’isomorphisme A
˜
G
˜
M
A
˜
G
(ˆ s)
˜
M
préserve les mesures par définitions
et il envoie dα sur dα
. Donc d
˜
G (α) = d
˜
G
(ˆ s) (α
). De X.4.1, on a la formule
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ / Ker(α)
(r
˜
G
(ˆ s) )
(α
, c
V
λ , 0)/r
˜
G
(ˆ s) (α
, c
V
λ , 0).
On peut sommer sur ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 à condition de
mettre devant chaque terme le bon coefficient, c’est-à-dire | Ker(α)/Z( ˆ
G)
ΓF
∩
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1 . Il faut donc montrer pour tout ˆ
s fixé, l’égalité
(1)
i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s))
= | Ker(α)/Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1
| Ker(α
)/Z( ˆ
G
(ˆ s)) ∩ Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 )|.
Evidemment Ker(α) = Ker(α
). Ainsi (1) vaut
|Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G
(ˆ s)) ∩ Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 )|.
Par ellipticité Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 et on trouve i ˜
M ( ˜
G, G
(ˆ s)) d’après X.4.1.