X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1179
ce qui fort heureusement est une formule symétrique en α et −α. On fixe λ 0
imaginaire et on pose λ = λ 0 + μ. On a alors
r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0) = r
(α, c
V
λ0 , dα(μ))/r(α, c
V
λ0 , dα(μ));
r
(−α, c
V
λ , 0)/r(−α, c
V
λ , 0) = r
(−α, c
V
λ0 , −dα(μ))/r(−α, c
V
λ0 , −dα(μ))
Pour éviter les confusions, on pose σ := dα(μ) et on développe la fonction écrite
en (1) au voisinage de σ = 0. Pour η = ±, on note d η l’ordre en σ = 0 de la
fonction r(ηα, c
V
λ0 , s) et on voit que (1) est la somme de fonctions holomorphes en
σ = 0 avec (d + − d − )σ
−1 . Le lemme est donc équivalent à montrer que d + = d − .
Comme on suppose que φ est unitaire et que λ 0 est imaginaire, on peut
remplacer c
V par c
V
λ0 et oublier λ 0 . On note c
V ∗ le morphisme correspondant à la
représentation contragrédiente de la représentation définie par c
V . On vérifie sur
les définitions que
r(−α, c
V , s) = r(α, c
V ∗
− s);
cela vient du fait que l’espace propre pour la valeur propre α pour l’action de
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 est en dualité avec son analogue pour la valeur propre −α. En utilisant l’unitarité, on a encore r(α, c V ∗ , −s) = r(α, c
V , −s). D’où r(−α, c
V , s) =
r(α, c V , −s). Ainsi l’ordre en s = 0 de la fonction r(−α, c
V , s) est égal à l’ordre en
s = 0 de la fonction r(α, c
V , −s), c’est-à-dire aussi de la fonction r(α, c
V , s).
Pour un caractère α de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 qui intervient dans l’algèbre de Lie de
ˆ
G, on a interprété ci-dessus dα comme une forme linéaire sur A
∗
˜
M,C
, autrement
dit comme un élément de A ˜
M,C . Il est clair que dα ∈ A
˜
G
˜
M
. On se rappelle que cet
espace est muni d’une mesure. Supposons que ˜
M est un espace de Levi maximal
de ˜
G. On pose alors
d
˜
G (α) =
1
2
vol(A
˜
G
˜
M
/Zdα).
Définition. Dans le cas où ˜
M est un espace de Levi maximal de ˜
G, avec les notations précédentes, on pose :
r
˜
G
˜
M
(c
V , λ) :=
α
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ),
où α parcourt les caractères de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 qui interviennent dans l’algèbre de Lie
de ˆ
G et
r
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) = d
˜
G (α)r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0).
Stabilisation dans le cas d’un espace de Levi maximal
On définit aussi s
˜
G
˜
M
(α, c
V
λ ) sous l’hypothèse que ˜
G est à torsion intérieure, que ω est
trivial et que ˜
M est maximal ; cette dernière hypothèse assure que la composante