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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Pour tout λ on tensorise c
V (notations du paragraphe précédent) par
λ et on note c
V
λ le résultat. On remarque alors que si c
V est à valeurs dans M
comme précédemment, il en est de même de c
V
λ . Pour α comme dans le paragraphe
précédent, on définit L
V (α, c
V
λ , s) ou L(α, c
V
λ , s) (le V étant déjà dans la notation
c
V ). On remarque que pour s fixé, cette fonction de λ est méromorphe non identiquement nulle : en effet en voyant λ comme un homomorphisme de W F V dans
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 , on considère α ◦ λ comme un homomorphisme de W F V dans C
∗ , non
ramifié. On voit dα comme une forme linéaire sur A
∗
˜
M,C
et dα(λ) ∈ C est tel que
le caractère précédent soit | |
dα(λ)
WF . On a ainsi L(α, c
V
λ , s) = L(α, c
V , dα(λ) + s).
On pose alors
r(α, c
V , λ) := L(α, c
V
λ , 0)/L(α, c
V
λ , 1).
Et sous l’hypothèse que c
V est à valeurs dans M
, on a encore une factorisation :
r(α, c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ,0 / Ker(α)
r
G
(ˆ s) (α
, c
V , λ).
On pose donc, pour tout λ, Λ ∈ A
∗
˜
M,C
r(α, c
V , Λ, λ) := r(α, c
V , λ + 1/2Λ)
−1 r(α, c
V , λ + Λ)
r(−α, c
V , λ + 1/2Λ)
−1 r(−α, c
V , λ + Λ),
où −α est la notation additive pour le caractère inverse de α qui jouit des mêmes
propriétés que α.
La fonction en Λ ci-dessus est, comme on l’a vu en X.4.1 une fonction de
dα(Λ) ; on écrit alors plus simplement ˜
r
V (α, c
V
λ , s) := r
V (α, c
V , Λ, λ) où s = dα(Λ).
Lemme. On suppose que c
V est quasi-automorphe.
La dérivée en s = 0 de ˜
r
V (α, c
V
λ , s) est holomorphe en λ au voisinage de tout
point λ 0 imaginaire.
On écrit ˜
r(α, c
V
λ , s) comme fonction méromorphe de s et de λ. On calcule sa
dérivée logarithmique en s et on obtient :
˜
r
(α, c
V
λ , s)˜ r(α, c
V
λ , s)
−1
= −1/2r
(α, c
V
λ , s/2)r(α, c
V
λ , s/2)
−1
+ r
(α, c
V
λ , s)r(α, c
V
λ , s)
−1
− 1/2r
(−α, c
V
λ , s/2)r(−α, c
V
λ , s/2)
−1
+ r
(−α, c
V
λ , s)r(−α, c
V
λ , s)
−1
On fait s = 0 et on obtient
(1)
˜
r
(α, c
V
λ , 0) = 1/2
r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0) + r
(−α, c
V
λ , 0)/r(−α, c
V
λ , 0)
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Pour tout λ on tensorise c
V (notations du paragraphe précédent) par
λ et on note c
V
λ le résultat. On remarque alors que si c
V est à valeurs dans M
comme précédemment, il en est de même de c
V
λ . Pour α comme dans le paragraphe
précédent, on définit L
V (α, c
V
λ , s) ou L(α, c
V
λ , s) (le V étant déjà dans la notation
c
V ). On remarque que pour s fixé, cette fonction de λ est méromorphe non identiquement nulle : en effet en voyant λ comme un homomorphisme de W F V dans
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 , on considère α ◦ λ comme un homomorphisme de W F V dans C
∗ , non
ramifié. On voit dα comme une forme linéaire sur A
∗
˜
M,C
et dα(λ) ∈ C est tel que
le caractère précédent soit | |
dα(λ)
WF . On a ainsi L(α, c
V
λ , s) = L(α, c
V , dα(λ) + s).
On pose alors
r(α, c
V , λ) := L(α, c
V
λ , 0)/L(α, c
V
λ , 1).
Et sous l’hypothèse que c
V est à valeurs dans M
, on a encore une factorisation :
r(α, c
V , λ) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ,0 / Ker(α)
r
G
(ˆ s) (α
, c
V , λ).
On pose donc, pour tout λ, Λ ∈ A
∗
˜
M,C
r(α, c
V , Λ, λ) := r(α, c
V , λ + 1/2Λ)
−1 r(α, c
V , λ + Λ)
r(−α, c
V , λ + 1/2Λ)
−1 r(−α, c
V , λ + Λ),
où −α est la notation additive pour le caractère inverse de α qui jouit des mêmes
propriétés que α.
La fonction en Λ ci-dessus est, comme on l’a vu en X.4.1 une fonction de
dα(Λ) ; on écrit alors plus simplement ˜
r
V (α, c
V
λ , s) := r
V (α, c
V , Λ, λ) où s = dα(Λ).
Lemme. On suppose que c
V est quasi-automorphe.
La dérivée en s = 0 de ˜
r
V (α, c
V
λ , s) est holomorphe en λ au voisinage de tout
point λ 0 imaginaire.
On écrit ˜
r(α, c
V
λ , s) comme fonction méromorphe de s et de λ. On calcule sa
dérivée logarithmique en s et on obtient :
˜
r
(α, c
V
λ , s)˜ r(α, c
V
λ , s)
−1
= −1/2r
(α, c
V
λ , s/2)r(α, c
V
λ , s/2)
−1
+ r
(α, c
V
λ , s)r(α, c
V
λ , s)
−1
− 1/2r
(−α, c
V
λ , s/2)r(−α, c
V
λ , s/2)
−1
+ r
(−α, c
V
λ , s)r(−α, c
V
λ , s)
−1
On fait s = 0 et on obtient
(1)
˜
r
(α, c
V
λ , 0) = 1/2
r
(α, c
V
λ , 0)/r(α, c
V
λ , 0) + r
(−α, c
V
λ , 0)/r(−α, c
V
λ , 0)