X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1177
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ )
0 , on voit α comme un caractère de (Z( ˆ
M )
ΓF )
0 et on le note alors
α
. On définit alors L G (ˆ s) (α
, c
V , s) (avec un double emploi de la lettre s qu’on
espère compréhensible). On remarque que ˆ g
[α
] = ˆ
g[α] ∩ ˆ
g et que cet espace peut
être vide, la fonction est alors égale à 1. Clairement ˆ
g
est l’algèbre de Lie du
centralisateur de ˆ
s agissant par conjugaison dans ˆ g. Soit z ∈ Ker α et considérons
la donnée endoscopique associée à ˆ
sz. On a : ˆ g[α] ∩ Cent ˆ
g s ⊂ ˆ
g[α] ∩ Cent ˆ
g ˆ
sz
puisque z commute à ˆ g[α] et par la même raison l’inclusion inverse est vraie, d’où
l’égalité L
V
G (ˆ s) (α
, c
V , s) = L
V
G(sz) (α
, c
V , s).
Proposition. L
V
G (α, c
V , s) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ Ker α
L
V
G (ˆ s) (α
, c
V , s) et le
membre de gauche est une fonction méromorphe de s.
Comme ˆ
s M commute aux éléments de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , il agit par conjugaison
dans ˆ g[α] et on décompose ˆ g[α] sous l’action de ˆ
s M . L’élément ˆ
s M opère donc de
façon semi-simple dans cet espace vectoriel. Ainsi,
ˆ g[α] = ⊕ x ˆ
g[α, x],
(1)
où x parcourt l’ensemble des valeurs propres de l’action de ˆ
s M ; en particulier
x = 0 puisque ˆ
s M est un élément inversible. Pour toute valeur propre x intervenant, on fixe t x ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 tel que α(t x ) = x
−1 et on pose ˆ
s x := ˆ
s M t x ;
évidemment, t x est bien déterminé modulo Ker α. On note G
(ˆ s x ) l’espace endoscopique correspondant à ˆ
s x et M
. On remarque que ˆ
s x commute aux éléments
de ˆ g[α, x] et cet espace est donc inclus dans ˆ g
(ˆ s x ), d’où
ˆ g[α, x] ⊂ ˆ g
(ˆ s x )[α
].
L’inclusion inverse est tout aussi claire d’où ˆ g[α, x] = ˆ g
(ˆ s x )[α
].
Réciproquement soit ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , c’est-à-dire ˆ
s = ˆ
s M z avec z ∈
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On suppose que ˆ g
(ˆ s)[α
] = 0 ; cela veut dire qu’il existe v ∈ ˆ g
(ˆ s)[α
]
non nul commutant à ˆ
s ou avec ce qui précède appartenant à ˆ
g[α, α(z)
−1 ]. Ainsi
α(z)
−1 est l’un des x considérés ci-dessus et z ∈ t x Ker α. Ainsi (1) se récrit
ˆ g[α] = ⊕ ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ / Ker α
ˆ g[α] ∩ ˆ g
(ˆ s).
Et l’égalité du lemme résulte de cette décomposition par définition des facteurs
L. Comme on l’a rappelé ci-dessus, la fonction L
V
G (α, c
V , s) est méromorphe en
s si c
V est vraiment automorphe. Si c
V n’est pas automorphe, il provient d’une
donnée M
avec M
= M . On applique l’égalité que l’on vient de démontrer. Par
récurrence, les termes du membre de droite sont méromorphes en s donc le membre
de gauche aussi. C’est exactement la démonstration de [15] que l’on a recopiée.
Définition des caractères pondérés non ramifiés dans le cas
d’un espace de Levi maximal
Soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. Ici on considère les éléments invariants sous l’action de ˜
M . On
identifie, A
∗
˜
M,C
à un sous-groupe des homomorphismes non ramifiés de W F V dans
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(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ )
0 , on voit α comme un caractère de (Z( ˆ
M )
ΓF )
0 et on le note alors
α
. On définit alors L G (ˆ s) (α
, c
V , s) (avec un double emploi de la lettre s qu’on
espère compréhensible). On remarque que ˆ g
[α
] = ˆ
g[α] ∩ ˆ
g et que cet espace peut
être vide, la fonction est alors égale à 1. Clairement ˆ
g
est l’algèbre de Lie du
centralisateur de ˆ
s agissant par conjugaison dans ˆ g. Soit z ∈ Ker α et considérons
la donnée endoscopique associée à ˆ
sz. On a : ˆ g[α] ∩ Cent ˆ
g s ⊂ ˆ
g[α] ∩ Cent ˆ
g ˆ
sz
puisque z commute à ˆ g[α] et par la même raison l’inclusion inverse est vraie, d’où
l’égalité L
V
G (ˆ s) (α
, c
V , s) = L
V
G(sz) (α
, c
V , s).
Proposition. L
V
G (α, c
V , s) =
ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ Ker α
L
V
G (ˆ s) (α
, c
V , s) et le
membre de gauche est une fonction méromorphe de s.
Comme ˆ
s M commute aux éléments de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , il agit par conjugaison
dans ˆ g[α] et on décompose ˆ g[α] sous l’action de ˆ
s M . L’élément ˆ
s M opère donc de
façon semi-simple dans cet espace vectoriel. Ainsi,
ˆ g[α] = ⊕ x ˆ
g[α, x],
(1)
où x parcourt l’ensemble des valeurs propres de l’action de ˆ
s M ; en particulier
x = 0 puisque ˆ
s M est un élément inversible. Pour toute valeur propre x intervenant, on fixe t x ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 tel que α(t x ) = x
−1 et on pose ˆ
s x := ˆ
s M t x ;
évidemment, t x est bien déterminé modulo Ker α. On note G
(ˆ s x ) l’espace endoscopique correspondant à ˆ
s x et M
. On remarque que ˆ
s x commute aux éléments
de ˆ g[α, x] et cet espace est donc inclus dans ˆ g
(ˆ s x ), d’où
ˆ g[α, x] ⊂ ˆ g
(ˆ s x )[α
].
L’inclusion inverse est tout aussi claire d’où ˆ g[α, x] = ˆ g
(ˆ s x )[α
].
Réciproquement soit ˆ
s ∈ ˆ
s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ , c’est-à-dire ˆ
s = ˆ
s M z avec z ∈
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On suppose que ˆ g
(ˆ s)[α
] = 0 ; cela veut dire qu’il existe v ∈ ˆ g
(ˆ s)[α
]
non nul commutant à ˆ
s ou avec ce qui précède appartenant à ˆ
g[α, α(z)
−1 ]. Ainsi
α(z)
−1 est l’un des x considérés ci-dessus et z ∈ t x Ker α. Ainsi (1) se récrit
ˆ g[α] = ⊕ ˆ
s∈ˆ s M Z( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ / Ker α
ˆ g[α] ∩ ˆ g
(ˆ s).
Et l’égalité du lemme résulte de cette décomposition par définition des facteurs
L. Comme on l’a rappelé ci-dessus, la fonction L
V
G (α, c
V , s) est méromorphe en
s si c
V est vraiment automorphe. Si c
V n’est pas automorphe, il provient d’une
donnée M
avec M
= M . On applique l’égalité que l’on vient de démontrer. Par
récurrence, les termes du membre de droite sont méromorphes en s donc le membre
de gauche aussi. C’est exactement la démonstration de [15] que l’on a recopiée.
Définition des caractères pondérés non ramifiés dans le cas
d’un espace de Levi maximal
Soit λ ∈ A
∗
˜
M,C
. Ici on considère les éléments invariants sous l’action de ˜
M . On
identifie, A
∗
˜
M,C
à un sous-groupe des homomorphismes non ramifiés de W F V dans