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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Soit v une place de F et c v un homomorphisme de W Fv dans le groupe
dual de M . On a le facteur L, L v (α, c v , s) qui correspond à la représentation
de W Fv dans ˆ g[α] via le composé de c v avec la représentation adjointe de
L M
dans ˆ g[α]. Il est clair que ce facteur L est un produit fini d’objets définis en [15],
précisément le produit des L v (β, c v , s) où β parcourt l’ensemble des caractères de
Z( ˆ
M )
ΓF ayant α comme restriction à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On fixe encore V un ensemble
fini de places de V contenant V ram et on suppose que c v est donné pour tout
v /
∈ V ; on note c
V le produit de ces c v . On définit alors L
V (α, c
V , s) en faisant
le produit sur toutes les places v en tant que fonction méromorphe de s : ceci
est bien défini sous des hypothèses assez faibles sur c
V , puisqu’il suffit que ce soit
vrai pour les fonctions L
V (β, c
V , s), on peut donc prendre les hypothèses de [15]
qui suivent la formule (1) du paragraphe 2. Pour nous, il suffit par exemple que
c
V soit la composante non ramifiée hors de V d’une représentation automorphe
de ˜
M puisque cela donne aussi une représentation automorphe de M . On peut
aussi poser l’hypothèse plus faible que c
V soit la composante non ramifiée hors de
V d’une représentation automorphe d’une donnée endoscopique elliptique M
de
˜
M , ω ; en fait ce sont les représentations des données auxiliaires attachées à une
donnée endoscopique elliptique qui interviennent. Les représentations considérées
ont alors en restriction au tore induit central un caractère déterminé par la donnée
endoscopique et le choix de la donnée auxiliaire (cf [15] paragraphe 2, le même
phénomène existant dans le cas non tordu). On dira pour simplifier qu’une telle
représentation est une représentation de M
.
On peut encore affaiblir l’hypothèse sur c
V de la façon suivante. On définit
de façon inductive la notion de caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke
sphérique de M . Un caractère c
V est dit quasi-automorphe si :
– ou bien il est automorphe (disons précisément qu’il intervient dans la partie
discrète de la formule des traces tordue pour ˜
M , cf. X.5.1 ci-dessous) ;
– ou bien il existe une donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M , ω, relevante
et non ramifiée hors de V , avec M
= M dans le cas où M est quasi-déployé,
˜
M est à torsion intérieure et ω = 1, de sorte que c
V soit le transfert d’un
caractère quasi-automorphe de M
.
Remarquons qu’un caractère quasi-automorphe est unitaire, c’est-à-dire que
chaque représentation correspondant à c v pour v ∈ V est unitaire.
Pour de tels caractères, la factorisation que l’on va démontrer ci-dessous, en
suivant la méthode de [15], montre que les fonctions L partielles sont bien définies
comme fonctions méromorphes.
Soit M
=: (M
, M
, ˆ
s M ) un espace endoscopique elliptique de ˜
M ; on suppose que c
V est à valeurs dans M
et que c
V est quasi-automorphe pour M
.
On écrit ˆ
s M = s M ˆ
θ. Soit s ∈ s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ on associe un espace
endoscopique G
= (G
(ˆ s), G
, ˆ
s = s ˆ
θ) de ˜
G où tout simplement, ˆ
G := ˆ
G
(ˆ s) est la
composante neutre du centralisateur de ˆ
s dans ˆ
G, G
= ˆ
G
M
, ce qui donne une
action de Γ F sur ˆ
G
et un groupe quasidéployé G
. Avec l’égalité (Z( ˆ
M
)
ΓF )
0 =
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Soit v une place de F et c v un homomorphisme de W Fv dans le groupe
dual de M . On a le facteur L, L v (α, c v , s) qui correspond à la représentation
de W Fv dans ˆ g[α] via le composé de c v avec la représentation adjointe de
L M
dans ˆ g[α]. Il est clair que ce facteur L est un produit fini d’objets définis en [15],
précisément le produit des L v (β, c v , s) où β parcourt l’ensemble des caractères de
Z( ˆ
M )
ΓF ayant α comme restriction à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On fixe encore V un ensemble
fini de places de V contenant V ram et on suppose que c v est donné pour tout
v /
∈ V ; on note c
V le produit de ces c v . On définit alors L
V (α, c
V , s) en faisant
le produit sur toutes les places v en tant que fonction méromorphe de s : ceci
est bien défini sous des hypothèses assez faibles sur c
V , puisqu’il suffit que ce soit
vrai pour les fonctions L
V (β, c
V , s), on peut donc prendre les hypothèses de [15]
qui suivent la formule (1) du paragraphe 2. Pour nous, il suffit par exemple que
c
V soit la composante non ramifiée hors de V d’une représentation automorphe
de ˜
M puisque cela donne aussi une représentation automorphe de M . On peut
aussi poser l’hypothèse plus faible que c
V soit la composante non ramifiée hors de
V d’une représentation automorphe d’une donnée endoscopique elliptique M
de
˜
M , ω ; en fait ce sont les représentations des données auxiliaires attachées à une
donnée endoscopique elliptique qui interviennent. Les représentations considérées
ont alors en restriction au tore induit central un caractère déterminé par la donnée
endoscopique et le choix de la donnée auxiliaire (cf [15] paragraphe 2, le même
phénomène existant dans le cas non tordu). On dira pour simplifier qu’une telle
représentation est une représentation de M
.
On peut encore affaiblir l’hypothèse sur c
V de la façon suivante. On définit
de façon inductive la notion de caractère quasi-automorphe de l’algèbre de Hecke
sphérique de M . Un caractère c
V est dit quasi-automorphe si :
– ou bien il est automorphe (disons précisément qu’il intervient dans la partie
discrète de la formule des traces tordue pour ˜
M , cf. X.5.1 ci-dessous) ;
– ou bien il existe une donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M , ω, relevante
et non ramifiée hors de V , avec M
= M dans le cas où M est quasi-déployé,
˜
M est à torsion intérieure et ω = 1, de sorte que c
V soit le transfert d’un
caractère quasi-automorphe de M
.
Remarquons qu’un caractère quasi-automorphe est unitaire, c’est-à-dire que
chaque représentation correspondant à c v pour v ∈ V est unitaire.
Pour de tels caractères, la factorisation que l’on va démontrer ci-dessous, en
suivant la méthode de [15], montre que les fonctions L partielles sont bien définies
comme fonctions méromorphes.
Soit M
=: (M
, M
, ˆ
s M ) un espace endoscopique elliptique de ˜
M ; on suppose que c
V est à valeurs dans M
et que c
V est quasi-automorphe pour M
.
On écrit ˆ
s M = s M ˆ
θ. Soit s ∈ s M Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ on associe un espace
endoscopique G
= (G
(ˆ s), G
, ˆ
s = s ˆ
θ) de ˜
G où tout simplement, ˆ
G := ˆ
G
(ˆ s) est la
composante neutre du centralisateur de ˆ
s dans ˆ
G, G
= ˆ
G
M
, ce qui donne une
action de Γ F sur ˆ
G
et un groupe quasidéployé G
. Avec l’égalité (Z( ˆ
M
)
ΓF )
0 =