X.4. Les caractères pondérés et leur stabilisation
1175
Rappel
On rappelle le lemme suivant qui s’inspire fortement du lemme 2 de [15] pour
pouvoir y référer facilement. Soit ˜
M un sous-espace de Levi de ˜
G. On dispose des
L-groupes,
L G,
L M et de l’automorphisme ˆ
θ et des composantes neutres ˆ
M et ˆ
G
des L-groupes. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, ω et M
de ˜
M, ω. On suppose que M
est un espace de Levi de G
. Alors :
Lemme. On a l’égalité Z( ˆ
M )
ˆ
θ = Z( ˆ
G)
θ (Z( ˆ
M )
ˆ
θ )
0 . Et aussi
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ (Z( ˆ
M ))
ΓF , ˆ
θ,0 .
Corollaire. On a Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
⊂ Z( ˆ
G
) et
i ˜
M ( ˜
G, G
) = |Z( ˆ
G
) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1 .
La première assertion est claire car Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 par ellipticité.
D’après le lemme précédent, l’application naturelle
Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G
)
ΓF
∩ Z( ˆ
G) → Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
est surjective. Et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau. Or un
élement z
∈ Z( ˆ
G
)
ΓF est dans le noyau si son image dans Z( ˆ
G
)/Z( ˆ
G
)∩Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
est nulle. C’est-à-dire z
= zm avec z ∈ Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ et m ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Ainsi m ∈ ˆ
G
et z ∈ Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G et z ∈ Z( ˆ
G
), plus précisément z ∈ Z( ˆ
G
)
ΓF
∩ Z( ˆ
G). Ainsi le
noyau est exactement isomorphe à
Z( ˆ
G
) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Cela termine la preuve.
Factorisation des facteurs L
On fixe un sous-espace de Levi ˜
M de ˜
G et on fixe α un caractère, non trivial,
de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . On suppose que ce caractère intervient dans l’action de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G ; sinon la fonction attachée à un tel α est, par définition, la fonction identiquement 1. Avec cette hypothèse, il est clair qu’il existe un
unique prolongement de α à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ trivial sur Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On peut donc voir
indifféremment α comme un caractère de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ trivial sur Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ou de la
composante neutre de ce groupe.
On note ˆ g[α] l’espace propre de valeur propre α pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. On remarque que ˆ
M et plus généralement le L-groupe
de M , agit trivialement par conjugaison dans Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et agit donc par conjugaison dans ˆ g[α].
1175
Rappel
On rappelle le lemme suivant qui s’inspire fortement du lemme 2 de [15] pour
pouvoir y référer facilement. Soit ˜
M un sous-espace de Levi de ˜
G. On dispose des
L-groupes,
L G,
L M et de l’automorphisme ˆ
θ et des composantes neutres ˆ
M et ˆ
G
des L-groupes. On fixe aussi une donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, ω et M
de ˜
M, ω. On suppose que M
est un espace de Levi de G
. Alors :
Lemme. On a l’égalité Z( ˆ
M )
ˆ
θ = Z( ˆ
G)
θ (Z( ˆ
M )
ˆ
θ )
0 . Et aussi
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ (Z( ˆ
M ))
ΓF , ˆ
θ,0 .
Corollaire. On a Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
⊂ Z( ˆ
G
) et
i ˜
M ( ˜
G, G
) = |Z( ˆ
G
) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
|
−1 .
La première assertion est claire car Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 par ellipticité.
D’après le lemme précédent, l’application naturelle
Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G
)
ΓF
∩ Z( ˆ
G) → Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M )
est surjective. Et i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau. Or un
élement z
∈ Z( ˆ
G
)
ΓF est dans le noyau si son image dans Z( ˆ
G
)/Z( ˆ
G
)∩Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
est nulle. C’est-à-dire z
= zm avec z ∈ Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ et m ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . Ainsi m ∈ ˆ
G
et z ∈ Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G et z ∈ Z( ˆ
G
), plus précisément z ∈ Z( ˆ
G
)
ΓF
∩ Z( ˆ
G). Ainsi le
noyau est exactement isomorphe à
Z( ˆ
G
) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Cela termine la preuve.
Factorisation des facteurs L
On fixe un sous-espace de Levi ˜
M de ˜
G et on fixe α un caractère, non trivial,
de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 . On suppose que ce caractère intervient dans l’action de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G ; sinon la fonction attachée à un tel α est, par définition, la fonction identiquement 1. Avec cette hypothèse, il est clair qu’il existe un
unique prolongement de α à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ trivial sur Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On peut donc voir
indifféremment α comme un caractère de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ trivial sur Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ ou de la
composante neutre de ce groupe.
On note ˆ g[α] l’espace propre de valeur propre α pour l’action de Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
dans l’algèbre de Lie de ˆ
G. On remarque que ˆ
M et plus généralement le L-groupe
de M , agit trivialement par conjugaison dans Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et agit donc par conjugaison dans ˆ g[α].