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Chapitre X. Stabilisation spectrale
tore déployé et il n’y a rien à démontrer si ω n’est pas trivial sur M (F )
θ où θ est
l’automorphisme obtenu par conjugaison sous n’importe quel élément de ˜
M .
On globalise ; si v 0 est une place complexe on globalise avec une extension
totalement imaginaire F de Q. D’abord par une extension convenable, K
de F ,
on se ramène au cas où ω ◦ Norm K /F est non ramifié en toutes les places finies. On
note d le degré de cette extension. On remarque que pour toute place v finie de K
,
si un caractère de G(K
) est non ramifié, il est uniquement déterminé par l’image
du Frobenius, F r v dans Z( ˆ
G). On note a v,F r,ω l’élément de ˆ
G correspondant à
cet élément. Comme ω est la restriction des caractères ω décrit en X.3.8, a v,F r,ω
est nécessairement dans (1 − ˆ
θ) ˆ
G. (Cela traduit le fait que ω est nul sur G(F )
θ ).
On fixe z v,F r ∈ ˆ
G tel que a v,F r,ω = z v,F r ˆ
θ(z v,F r )
−1 . On note μ v le caractère non
ramifié pour lequel qui z v,F r est l’image du Frobenius (via la théorie du corps de
classe). Alors (ω ◦ Norm K /F ) v = μ v (μ v ◦ θ)
−1 . Par la méthode de X.3.7 et grâce à
la remarque de 3.8 on se débarrasse ainsi des places finies pour obtenir le résultat
aux places complexes. Ensuite, puisqu’on a le résultat aux places complexes, on
peut encore appliquer la méthode de X.3.7 et le même raisonnement que ci-dessus
pour n’avoir que la place v 0 qui nous intéresse et on conclut.
X.4 Les caractères pondérés ω-équivariants
et leur stabilisation
Comme pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, on a une définition locale des caractères pondérés invariants et une définition semi-globale de ces caractères. La définition semi-globale se ramenant à la définition locale par une formule
de scindage. Avant de revenir sur ces définitions, il faut considérer les places non
ramifiées hors de V , celles où l’on ne rend pas les objets invariants. Donc ici F est
un corps de nombres.
X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation
On fixe V un ensemble fini de places de F contenant V ram (cf. [VI] 1.1 pour la
définition de V ram ). On fixe pour v /
∈ V ram , ˜
K v un sous-espace hyperspécial (cf.
[I] 6.1 pour la définition de ˜
K v ). On note 1 ˜
K V la fonction caractéristique du sousespace compact ˜
K
V de ˜
G(F
V ). La notion d’invariance n’a pas de sens dans cette
situation, par contre on peut calculer J
˜
G
˜
M
(π
V , 1 ˜
K V ) et stabiliser cette formule.
C’est fait en [15] que l’on reprend ici pour adapter les coefficients à la situation
tordue. On utilise la classification de Langlands des représentations non ramifiées
des groupes p-adiques. Ainsi les caractères pondérés pour les représentations non
ramifiées et pour l’unité de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V s’expriment en
termes de fonctions L. On va les calculer.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
tore déployé et il n’y a rien à démontrer si ω n’est pas trivial sur M (F )
θ où θ est
l’automorphisme obtenu par conjugaison sous n’importe quel élément de ˜
M .
On globalise ; si v 0 est une place complexe on globalise avec une extension
totalement imaginaire F de Q. D’abord par une extension convenable, K
de F ,
on se ramène au cas où ω ◦ Norm K /F est non ramifié en toutes les places finies. On
note d le degré de cette extension. On remarque que pour toute place v finie de K
,
si un caractère de G(K
) est non ramifié, il est uniquement déterminé par l’image
du Frobenius, F r v dans Z( ˆ
G). On note a v,F r,ω l’élément de ˆ
G correspondant à
cet élément. Comme ω est la restriction des caractères ω décrit en X.3.8, a v,F r,ω
est nécessairement dans (1 − ˆ
θ) ˆ
G. (Cela traduit le fait que ω est nul sur G(F )
θ ).
On fixe z v,F r ∈ ˆ
G tel que a v,F r,ω = z v,F r ˆ
θ(z v,F r )
−1 . On note μ v le caractère non
ramifié pour lequel qui z v,F r est l’image du Frobenius (via la théorie du corps de
classe). Alors (ω ◦ Norm K /F ) v = μ v (μ v ◦ θ)
−1 . Par la méthode de X.3.7 et grâce à
la remarque de 3.8 on se débarrasse ainsi des places finies pour obtenir le résultat
aux places complexes. Ensuite, puisqu’on a le résultat aux places complexes, on
peut encore appliquer la méthode de X.3.7 et le même raisonnement que ci-dessus
pour n’avoir que la place v 0 qui nous intéresse et on conclut.
X.4 Les caractères pondérés ω-équivariants
et leur stabilisation
Comme pour les intégrales orbitales pondérées invariantes, on a une définition locale des caractères pondérés invariants et une définition semi-globale de ces caractères. La définition semi-globale se ramenant à la définition locale par une formule
de scindage. Avant de revenir sur ces définitions, il faut considérer les places non
ramifiées hors de V , celles où l’on ne rend pas les objets invariants. Donc ici F est
un corps de nombres.
X.4.1 Caractère pondéré aux places non ramifiées et stabilisation
On fixe V un ensemble fini de places de F contenant V ram (cf. [VI] 1.1 pour la
définition de V ram ). On fixe pour v /
∈ V ram , ˜
K v un sous-espace hyperspécial (cf.
[I] 6.1 pour la définition de ˜
K v ). On note 1 ˜
K V la fonction caractéristique du sousespace compact ˜
K
V de ˜
G(F
V ). La notion d’invariance n’a pas de sens dans cette
situation, par contre on peut calculer J
˜
G
˜
M
(π
V , 1 ˜
K V ) et stabiliser cette formule.
C’est fait en [15] que l’on reprend ici pour adapter les coefficients à la situation
tordue. On utilise la classification de Langlands des représentations non ramifiées
des groupes p-adiques. Ainsi les caractères pondérés pour les représentations non
ramifiées et pour l’unité de l’algèbre de Hecke sphérique hors de V s’expriment en
termes de fonctions L. On va les calculer.