X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1173
Le choix de θ dépend du choix d’un élément γ 0 de ˜
G(F ) ; fixons donc γ 0 ∈
˜
G(F ) ; on peut changer de θ, cela ne change pas μ. On définit la fonction ˜
μ sur
˜
G en posant ˜
μ(γ) = μ(g 0 ) où g 0 est l’unique élément de G(F ) tel que g 0 γ 0 = γ.
Evidemment pour tout g, g
∈ G(F ), on a :
˜
μ(gγg
) = μ(gg 0 θ(g
)) = μ(g)μ(θ(g)
)˜ μ(γ).
On associe ainsi à tout élément, f , de I( ˜
G, ω) un élément f μ := ˜
μf de I( ˜
G, 1). Les
ω-intégrales orbitales pondérées de f deviennent des intégrales orbitales pondérées
de f μ :
I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = ˜
μ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, f μ ).
Le point à vérifier est donc que
I
˜
G,E
˜
M,ω
(γ, f ) = ˜
μ(γ)I
˜
G,E
˜
M,1
(γ, f μ ).
On vérifie aisément, qu’en notant a μ () un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G) définissant μ, il existe une bijection entre les classes d’isomorphie de données endoscopiques elliptiques pour ˜
G et le cocycle fixé définissant le caractère ω de G et les
données endoscopiques elliptiques de ˜
G sans caractère et cette bijection est donnée simplement en modifiant G
en H
où si (x(w), w) ∈ G
pour w ∈ W F alors
(a μ (w)x(w), w) ∈ H
. Notons G
→ H
cette correspondance ; il faut montrer que
les facteurs de transfert se déduisent par multiplication par μ(g 0 ) où g 0 relie γ au
point de base choisi pour normaliser les facteurs de transfert. Précisément :
Δ
˜
G,G
(γ, δ) = μ(g 0 )Δ
˜
G,H
(γ, δ).
On revient aux définitions rappelées en [I] 2.2. Ce qui change est le cocycle w →
ˆ
V 1 (w) qui est multiplié par a μ (w)
−1 (cela intervient dans la définition de t T (w)).
Donc Δ imp a bien la propriété de transformation écrite.
Avec cela, on en déduit que f
G
= (f ˜
μ )
H
en regardant le transfert des
intégrales orbitales des éléments semi-simples réguliers. D’où l’assertion cherchée.
Ce raisonnement prouve la remarque car il nous ramène au cas ω = 1 qui est traité
par le lemme précédent.
X.3.9 Fin des réductions
Proposition. On fait les hypothèses de X.3.5 et alors l’application
f → ˜
M (f )
est identiquement nulle.
Il ne nous reste plus qu’à faire le cas où ˜
M est un tore déployé et où ω est
un caractère qui n’est pas de la forme (1 − θ)μ. On suppose donc que ˜
M est un
1173
Le choix de θ dépend du choix d’un élément γ 0 de ˜
G(F ) ; fixons donc γ 0 ∈
˜
G(F ) ; on peut changer de θ, cela ne change pas μ. On définit la fonction ˜
μ sur
˜
G en posant ˜
μ(γ) = μ(g 0 ) où g 0 est l’unique élément de G(F ) tel que g 0 γ 0 = γ.
Evidemment pour tout g, g
∈ G(F ), on a :
˜
μ(gγg
) = μ(gg 0 θ(g
)) = μ(g)μ(θ(g)
)˜ μ(γ).
On associe ainsi à tout élément, f , de I( ˜
G, ω) un élément f μ := ˜
μf de I( ˜
G, 1). Les
ω-intégrales orbitales pondérées de f deviennent des intégrales orbitales pondérées
de f μ :
I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = ˜
μ(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, f μ ).
Le point à vérifier est donc que
I
˜
G,E
˜
M,ω
(γ, f ) = ˜
μ(γ)I
˜
G,E
˜
M,1
(γ, f μ ).
On vérifie aisément, qu’en notant a μ () un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G) définissant μ, il existe une bijection entre les classes d’isomorphie de données endoscopiques elliptiques pour ˜
G et le cocycle fixé définissant le caractère ω de G et les
données endoscopiques elliptiques de ˜
G sans caractère et cette bijection est donnée simplement en modifiant G
en H
où si (x(w), w) ∈ G
pour w ∈ W F alors
(a μ (w)x(w), w) ∈ H
. Notons G
→ H
cette correspondance ; il faut montrer que
les facteurs de transfert se déduisent par multiplication par μ(g 0 ) où g 0 relie γ au
point de base choisi pour normaliser les facteurs de transfert. Précisément :
Δ
˜
G,G
(γ, δ) = μ(g 0 )Δ
˜
G,H
(γ, δ).
On revient aux définitions rappelées en [I] 2.2. Ce qui change est le cocycle w →
ˆ
V 1 (w) qui est multiplié par a μ (w)
−1 (cela intervient dans la définition de t T (w)).
Donc Δ imp a bien la propriété de transformation écrite.
Avec cela, on en déduit que f
G
= (f ˜
μ )
H
en regardant le transfert des
intégrales orbitales des éléments semi-simples réguliers. D’où l’assertion cherchée.
Ce raisonnement prouve la remarque car il nous ramène au cas ω = 1 qui est traité
par le lemme précédent.
X.3.9 Fin des réductions
Proposition. On fait les hypothèses de X.3.5 et alors l’application
f → ˜
M (f )
est identiquement nulle.
Il ne nous reste plus qu’à faire le cas où ˜
M est un tore déployé et où ω est
un caractère qui n’est pas de la forme (1 − θ)μ. On suppose donc que ˜
M est un