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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. La situation est locale et on suppose que ˜
M est un tore déployé. L’application qui a une classe d’isomorphie, M
de données endoscopiques elliptiques de ˜
M ,
ω, associe le caractère ω
M
induit une bijection de cet ensemble de classes d’isomorphie sur l’ensemble des caractères de M (F ) dont la restriction à l’image de
M (F ) est ω. En particulier les données endoscopiques elliptiques fixes par l’opération ∇ (cf. X.3.5) sont exactement les données endoscopiques pour lesquelles
(ω
M
)
2 = 1
Comme on suppose que ˜
M est un tore déployé, tout se simplifie : une donnée
endoscopique est un triplet (M
, M
, ˆ
s). L’élément ˆ
s ∈ ˆ
M est déterminé modulo
Z( ˆ
M ) = ˆ
M . Ainsi on prend ˆ
s = ˆ
θ. Alors ˆ
M
= ˆ
M
ˆ
θ,0 . Et M
est uniquement
déterminé par un homomorphisme de W F dans ˆ
M/ ˆ
M
ˆ
θ,0 qui se relève en une
application w ∈ W F → a w ∈ ˆ
M vérifiant que l’application w → a
−1
w
ˆ
θ(a w ) est
le cocycle de W F dans ˆ
M donnant le caractère ω de M (F ). Or M = M/M
θ
est lui aussi un tore ; il s’identifie (comme groupe algébrique) à (1 − θ)M . Son
groupe dual est alors ˆ
M / ˆ
M
ˆ
θ,0 . Et l’application w → a w après passage au quotient
par ˆ
M
ˆ
θ,0 est par définition un morphisme de groupes. Il est facile de voir que
ce morphisme correspond exactement au caractère ω de la donnée endoscopique.
La réciproque est claire : soit w → a w une application de W F dans ˆ
M qui après
passage au quotient par ˆ
M
ˆ
θ,0 est un morphisme et qui est tel que w → a
−1
w
ˆ
θ(a w )
soit le cocycle correspondant à ω. On définit alors M
comme le sous-groupe de
ˆ
M engendré par ˆ
M
ˆ
θ,0 et les éléments (a w , w) et c’est la donnée endoscopique
nécessairement elliptique cherchée.
Corollaire. La situation est locale ; on suppose que ˜
M est un tore déployé et que
ω
M
est un caractère trivial. Alors (M
, δ) = 0.
On vérifie que sous les hypothèses faites, M
satisfait aux conditions du
corollaire de X.3.5 grâce au lemme précédent.
Lemme. On suppose que ω est d’ordre fini, alors (M
, δ) = 0 pour toute donnée
endoscopique elliptique de ˜
M , ω.
Le fait que ω soit d’ordre fini, entraîne le fait que pour tout M
, le caractère
ω
M
est lui aussi d’ordre fini. Par exemple si la place est une place complexe, cela
force ω
M
à être trivial et on applique alors le corollaire précédent. En général
on se ramène au cas où ω
M
est trivial. On se remet dans une situation globale,
on fixe la place v 0 qui nous intéresse et ω est toujours d’ordre fini. On note d le
degré d’une extension galoisienne de F qui trivialise ω et on procède comme dans
X.3.7, en construisant une extension galoisienne de F telle qu’on ne change rien
au-dessus de v 0 , et en toute place v = v 0 appartenant à l’ensemble S construit en
3.7, le caractère ω
M
est trivial. On conclut alors comme dans X.3.7.
Remarque. On suppose qu’il existe un caractère μ de G(F ) tel que ω(g) =
μ(gθ(g)
−1 ) où θ est ad γ0 pour γ 0 ∈ ˜
G(F ). Alors l’application f → ˜
M ( , ω, f)
est nulle et en particulier toutes les fonctions (M
, ) sont identiquement nulles.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Lemme. La situation est locale et on suppose que ˜
M est un tore déployé. L’application qui a une classe d’isomorphie, M
de données endoscopiques elliptiques de ˜
M ,
ω, associe le caractère ω
M
induit une bijection de cet ensemble de classes d’isomorphie sur l’ensemble des caractères de M (F ) dont la restriction à l’image de
M (F ) est ω. En particulier les données endoscopiques elliptiques fixes par l’opération ∇ (cf. X.3.5) sont exactement les données endoscopiques pour lesquelles
(ω
M
)
2 = 1
Comme on suppose que ˜
M est un tore déployé, tout se simplifie : une donnée
endoscopique est un triplet (M
, M
, ˆ
s). L’élément ˆ
s ∈ ˆ
M est déterminé modulo
Z( ˆ
M ) = ˆ
M . Ainsi on prend ˆ
s = ˆ
θ. Alors ˆ
M
= ˆ
M
ˆ
θ,0 . Et M
est uniquement
déterminé par un homomorphisme de W F dans ˆ
M/ ˆ
M
ˆ
θ,0 qui se relève en une
application w ∈ W F → a w ∈ ˆ
M vérifiant que l’application w → a
−1
w
ˆ
θ(a w ) est
le cocycle de W F dans ˆ
M donnant le caractère ω de M (F ). Or M = M/M
θ
est lui aussi un tore ; il s’identifie (comme groupe algébrique) à (1 − θ)M . Son
groupe dual est alors ˆ
M / ˆ
M
ˆ
θ,0 . Et l’application w → a w après passage au quotient
par ˆ
M
ˆ
θ,0 est par définition un morphisme de groupes. Il est facile de voir que
ce morphisme correspond exactement au caractère ω de la donnée endoscopique.
La réciproque est claire : soit w → a w une application de W F dans ˆ
M qui après
passage au quotient par ˆ
M
ˆ
θ,0 est un morphisme et qui est tel que w → a
−1
w
ˆ
θ(a w )
soit le cocycle correspondant à ω. On définit alors M
comme le sous-groupe de
ˆ
M engendré par ˆ
M
ˆ
θ,0 et les éléments (a w , w) et c’est la donnée endoscopique
nécessairement elliptique cherchée.
Corollaire. La situation est locale ; on suppose que ˜
M est un tore déployé et que
ω
M
est un caractère trivial. Alors (M
, δ) = 0.
On vérifie que sous les hypothèses faites, M
satisfait aux conditions du
corollaire de X.3.5 grâce au lemme précédent.
Lemme. On suppose que ω est d’ordre fini, alors (M
, δ) = 0 pour toute donnée
endoscopique elliptique de ˜
M , ω.
Le fait que ω soit d’ordre fini, entraîne le fait que pour tout M
, le caractère
ω
M
est lui aussi d’ordre fini. Par exemple si la place est une place complexe, cela
force ω
M
à être trivial et on applique alors le corollaire précédent. En général
on se ramène au cas où ω
M
est trivial. On se remet dans une situation globale,
on fixe la place v 0 qui nous intéresse et ω est toujours d’ordre fini. On note d le
degré d’une extension galoisienne de F qui trivialise ω et on procède comme dans
X.3.7, en construisant une extension galoisienne de F telle qu’on ne change rien
au-dessus de v 0 , et en toute place v = v 0 appartenant à l’ensemble S construit en
3.7, le caractère ω
M
est trivial. On conclut alors comme dans X.3.7.
Remarque. On suppose qu’il existe un caractère μ de G(F ) tel que ω(g) =
μ(gθ(g)
−1 ) où θ est ad γ0 pour γ 0 ∈ ˜
G(F ). Alors l’application f → ˜
M ( , ω, f)
est nulle et en particulier toutes les fonctions (M
, ) sont identiquement nulles.