X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1171
v = v 0 , K
v est une extension galoisienne de F v qui déploie T v et qui est de degré
inférieur ou égal à d. Avec le lemme de X.3.6, on fixe une extension galoisienne,
K, de F de degré inférieur ou égal à d! et qui en toute place v
de K au-dessus
d’une place v de F qui est dans S, K v K
v . On considère la situation sur K
au lieu de la considérer sur F . Au dessus de v 0 , on n’a pas changé grand chose,
on a démultiplié la place v 0 ; en particulier M
définit naturellement une donnée
endoscopique de ˜
M sur K qui se localise en toute place au dessus de v 0 en la donnée
endoscopique de départ. Donc elle est elliptique. Le nouveau V ram est inclus dans
S K où S K est l’ensemble des places de K situées au dessus d’une place de S : grâce
à la définition de S, la condition technique qui doit être satisfaite hors de V ram
de [VI] 1.1, l’est grâce à la définition de S et les conditions de non ramification
hors de V ram proviennent de celles qui sont déjà vérifiées avant le changement de
corps. Mais en toute place v
de S K qui n’est pas au-dessus de v 0 , γ v n’est plus
elliptique. Donc on sait que ˜
M (f v ) est nulle sur la classe de conjugaison stable
de γ v et donc que v (M
, δ) = 0. La deuxième hypothèse clé de X.3.5 donne alors
simplement :
DD v0 (M
, δ) = 0,
(1)
où D est le degré de K sur F . Ceci est la nullité cherchée.
Remarque. Pour éviter de faire deux fois la même preuve, on remarque que la
démonstration que l’on vient de faire donne aussi le résultat suivant : supposons
que l’on sache que, pour tout corps local F v , ˜
M (f v ) est nul (avec les notations
ci-dessus) si ˜
M est un tore déployé sur F v , alors on a aussi v0 (M
, δ) = 0 sans
restriction sur ˜
M .
Grâce au résultat précédent, on suppose que ˜
M est un tore. Comme dans
la preuve ci-dessus, on déploie ˜
M sur une extension galoisienne puis on fixe K
qui déploie ˜
M sur S − {v 0 } où S est comme ci-dessus et tel que, au dessus de
v 0 , l’extension de corps est totalement scindée. Et on a encore (1) qui donne le
résultat cherché.
X.3.8 Le cas des tores déployés
Dans le cas de l’endoscopie ordinaire, le cas des tores déployés est trivial, il n’en
est pas de même pour l’endoscopie tordue. C’est ici que l’on va utiliser X.3.5. On
rappelle qu’à toute donnée endoscopique M
est attaché un caractère ω du groupe
M (F ) := (M/Z(M )
θ )(F ) ([I] 2.7), cela se fait d’abord localement, puis comme
ce caractère est une propriété de transformation des facteurs de transfert, ces
caractères locaux donnent un caractère automorphe du groupe M . Le caractère
ω dépend de la donnée endoscopique, on le note donc plutôt ω
M
. La restriction
de ce caractère à l’image de M (F ) dans M (F ) est ω. Par la définition même, on
voit que
ω
M
∇
= ω M
= (ω
M
)
−1 .
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v = v 0 , K
v est une extension galoisienne de F v qui déploie T v et qui est de degré
inférieur ou égal à d. Avec le lemme de X.3.6, on fixe une extension galoisienne,
K, de F de degré inférieur ou égal à d! et qui en toute place v
de K au-dessus
d’une place v de F qui est dans S, K v K
v . On considère la situation sur K
au lieu de la considérer sur F . Au dessus de v 0 , on n’a pas changé grand chose,
on a démultiplié la place v 0 ; en particulier M
définit naturellement une donnée
endoscopique de ˜
M sur K qui se localise en toute place au dessus de v 0 en la donnée
endoscopique de départ. Donc elle est elliptique. Le nouveau V ram est inclus dans
S K où S K est l’ensemble des places de K situées au dessus d’une place de S : grâce
à la définition de S, la condition technique qui doit être satisfaite hors de V ram
de [VI] 1.1, l’est grâce à la définition de S et les conditions de non ramification
hors de V ram proviennent de celles qui sont déjà vérifiées avant le changement de
corps. Mais en toute place v
de S K qui n’est pas au-dessus de v 0 , γ v n’est plus
elliptique. Donc on sait que ˜
M (f v ) est nulle sur la classe de conjugaison stable
de γ v et donc que v (M
, δ) = 0. La deuxième hypothèse clé de X.3.5 donne alors
simplement :
DD v0 (M
, δ) = 0,
(1)
où D est le degré de K sur F . Ceci est la nullité cherchée.
Remarque. Pour éviter de faire deux fois la même preuve, on remarque que la
démonstration que l’on vient de faire donne aussi le résultat suivant : supposons
que l’on sache que, pour tout corps local F v , ˜
M (f v ) est nul (avec les notations
ci-dessus) si ˜
M est un tore déployé sur F v , alors on a aussi v0 (M
, δ) = 0 sans
restriction sur ˜
M .
Grâce au résultat précédent, on suppose que ˜
M est un tore. Comme dans
la preuve ci-dessus, on déploie ˜
M sur une extension galoisienne puis on fixe K
qui déploie ˜
M sur S − {v 0 } où S est comme ci-dessus et tel que, au dessus de
v 0 , l’extension de corps est totalement scindée. Et on a encore (1) qui donne le
résultat cherché.
X.3.8 Le cas des tores déployés
Dans le cas de l’endoscopie ordinaire, le cas des tores déployés est trivial, il n’en
est pas de même pour l’endoscopie tordue. C’est ici que l’on va utiliser X.3.5. On
rappelle qu’à toute donnée endoscopique M
est attaché un caractère ω du groupe
M (F ) := (M/Z(M )
θ )(F ) ([I] 2.7), cela se fait d’abord localement, puis comme
ce caractère est une propriété de transformation des facteurs de transfert, ces
caractères locaux donnent un caractère automorphe du groupe M . Le caractère
ω dépend de la donnée endoscopique, on le note donc plutôt ω
M
. La restriction
de ce caractère à l’image de M (F ) dans M (F ) est ω. Par la définition même, on
voit que
ω
M
∇
= ω M
= (ω
M
)
−1 .