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Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres
Lemme. Ici F est un corps global et S est un ensemble fini de places de F . On
fixe aussi un entier d et pour tout v ∈ S, on fixe une extension galoisienne K
v de
F v de degré inférieur ou égal à d. Alors il existe un corps K qui est une extension
galoisienne de F de degré inférieur ou égal à d! telle que tout v ∈ S et pour toute
place v
de K au-dessus de v, on ait K v = K
v .
Pour v ∈ S, on fixe un polynôme de degré d à coefficients dans F v dont les
racines sont distinctes (mais peuvent être dans F v ) et engendrent K
v sur F v . On
note
X
d + a 1,v X
d−1 + · · · + a d,v
ces polynômes. On fixe > 0. Par approximation forte, on fixe un polynôme à
coefficients dans F
X
d + a 1 X
d−1 + · · · + a d
tel que pour tout i ∈ [1, d] et pour tout v ∈ S, on ait |a i − a i,v | v ≤ . Et on
note K l’extension de F engendrée par toutes les racines de ce polynômes. Pour
suffisamment petit, K répond aux conditions du lemme.
X.3.7 Une réduction étonnamment simple
On revient momentanément à la situation locale mais on suppose qu’elle vient
d’une situation globale ; on verra en X.7.4 et X.7.6 que l’on peut approximer les
situations locales et que ce n’est donc pas restrictif. On note donc F le corps de
nombres, v 0 la place qui nous intéresse. On fixe aussi ˜
M, ω et M
une donnée
endoscopique elliptique de ˜
M , ω. On a aussi un élément γ ∈ ˜
M (F ) un élément
rationnel que l’on suppose semi-simple et régulier, et un élément δ ∈ ˜
M
(F ) qui
correspond à γ. On fixe un ensemble de places V vérifiant les conditions de la
deuxième hypothèse clé de 3.5 pour M
et δ.
Lemme. On suppose que ˜
M n’est pas un tore et que les hypothèses de X.3.5 sont
satisfaites. Alors v0 (M
, δ) = 0.
On reprend la notation ˜
T pour un tore tordu maximal contenant γ. Si ˜
T n’est
pas elliptique dans ˜
M , par les formules de descente, en toute place v, v (M
, δ) = 0
pour toute donnée endoscopique elliptique M
et pour tout δ dont la classe stable
correspond à γ v et il n’y a rien de non trivial à démontrer. Puisque le lemme porte
sur la place v 0 , on suppose plus précisément que ˜
T est sur F v0 un tore elliptique de
˜
M . On suppose comme dans l’énoncé que ˜
M n’est pas un tore et on va conclure.
On note T le tore sous-jacent à ˜
T .
On note d le degré d’une extension galoisienne de F qui déploie T et on note
S l’ensemble des places de F qui contient v 0 , V et l’ensemble des places v
de F
tel que l’on ait p v ≤ N (G)e v d! où ces termes sont définis en [VI] 1.1 (c’est une
condition technique). Pour tout v ∈ S on fixe K
v : si v = v 0 , K
v0 = F v0 et si
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.3.6 Une construction uniforme d’extensions de corps de nombres
Lemme. Ici F est un corps global et S est un ensemble fini de places de F . On
fixe aussi un entier d et pour tout v ∈ S, on fixe une extension galoisienne K
v de
F v de degré inférieur ou égal à d. Alors il existe un corps K qui est une extension
galoisienne de F de degré inférieur ou égal à d! telle que tout v ∈ S et pour toute
place v
de K au-dessus de v, on ait K v = K
v .
Pour v ∈ S, on fixe un polynôme de degré d à coefficients dans F v dont les
racines sont distinctes (mais peuvent être dans F v ) et engendrent K
v sur F v . On
note
X
d + a 1,v X
d−1 + · · · + a d,v
ces polynômes. On fixe > 0. Par approximation forte, on fixe un polynôme à
coefficients dans F
X
d + a 1 X
d−1 + · · · + a d
tel que pour tout i ∈ [1, d] et pour tout v ∈ S, on ait |a i − a i,v | v ≤ . Et on
note K l’extension de F engendrée par toutes les racines de ce polynômes. Pour
suffisamment petit, K répond aux conditions du lemme.
X.3.7 Une réduction étonnamment simple
On revient momentanément à la situation locale mais on suppose qu’elle vient
d’une situation globale ; on verra en X.7.4 et X.7.6 que l’on peut approximer les
situations locales et que ce n’est donc pas restrictif. On note donc F le corps de
nombres, v 0 la place qui nous intéresse. On fixe aussi ˜
M, ω et M
une donnée
endoscopique elliptique de ˜
M , ω. On a aussi un élément γ ∈ ˜
M (F ) un élément
rationnel que l’on suppose semi-simple et régulier, et un élément δ ∈ ˜
M
(F ) qui
correspond à γ. On fixe un ensemble de places V vérifiant les conditions de la
deuxième hypothèse clé de 3.5 pour M
et δ.
Lemme. On suppose que ˜
M n’est pas un tore et que les hypothèses de X.3.5 sont
satisfaites. Alors v0 (M
, δ) = 0.
On reprend la notation ˜
T pour un tore tordu maximal contenant γ. Si ˜
T n’est
pas elliptique dans ˜
M , par les formules de descente, en toute place v, v (M
, δ) = 0
pour toute donnée endoscopique elliptique M
et pour tout δ dont la classe stable
correspond à γ v et il n’y a rien de non trivial à démontrer. Puisque le lemme porte
sur la place v 0 , on suppose plus précisément que ˜
T est sur F v0 un tore elliptique de
˜
M . On suppose comme dans l’énoncé que ˜
M n’est pas un tore et on va conclure.
On note T le tore sous-jacent à ˜
T .
On note d le degré d’une extension galoisienne de F qui déploie T et on note
S l’ensemble des places de F qui contient v 0 , V et l’ensemble des places v
de F
tel que l’on ait p v ≤ N (G)e v d! où ces termes sont définis en [VI] 1.1 (c’est une
condition technique). Pour tout v ∈ S on fixe K
v : si v = v 0 , K
v0 = F v0 et si