X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1169
Corollaire. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M ,
on a M
= M
∇ (cela force ω
2 = 1), alors pour tout élément semi-simple régulier
de ˜
M , on a
I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(ω, γ, f ).
Avec les formules d’inversion des facteurs de transfert, et les réductions déjà
faites, il suffit de montrer que pour toute donnée endoscopique elliptique de ˜
M
et pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a, la
fonction
M
˜
M
(f ) est identiquement nulle. Il suffit donc de montrer que la fonction
(M
, δ) est identiquement nulle. Or on a vu en X.3.5 que cette fonction est à
valeurs dans l’ensemble des nombres complexes purement imaginaires. Le lemme
précédent assure que puisque M
= M
∇ elle est aussi à valeurs dans l’ensemble
des nombres réels. Elle est donc nulle.
Remarque. L’hypothèse du corollaire précédent équivaut à ce que les facteurs de
transfert puissent être choisis à valeurs réelles (ce qui force ω
2 = 1). On peut
démontrer ce corollaire plus directement.
En effet, pour γ, γ
des éléments semi-simples réguliers de ˜
M , on pose
a(γ, γ
) := c
−1
M ,δ
Δ M (δ, γ)Δ M (δ, γ
)
−1 (M
, δ),
où c est le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. On calcule directement,
en utilisant les inversions des facteurs de transfert :
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ
, ω, f ˜
M ),
où la somme sur γ
porte sur des représentants des classes de conjugaison d’éléments semi-simples dans ˜
M . Les nombres a(γ, γ
) sont purement imaginaires sous
l’hypothèse de la remarque puisque c’est le cas des nombres (M
, δ). On applique
l’égalité ci-dessus à f remplacé par f . Le terme de gauche est remplacé par son
conjugué puisque ω
2 = 1 et I
˜
M (γ
, ω, f ˜
M ) aussi. Donc on obtient, en appliquant
d’abord l’égalité à f
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ , ω, f ˜
M )
puis en conjuguant simplement l’égalité pour f
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = −
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ , ω, f ˜
M ).
Cela force la nullité du terme de gauche.
Remarque. Les hypothèses de la remarque précédente sont satisfaites si ω = 1
pour GL(n) tordu que ce soit dans la situation du changement de base ou de la
torsion avec l’automorphisme g →
t g
−1 .
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Corollaire. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M ,
on a M
= M
∇ (cela force ω
2 = 1), alors pour tout élément semi-simple régulier
de ˜
M , on a
I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(ω, γ, f ).
Avec les formules d’inversion des facteurs de transfert, et les réductions déjà
faites, il suffit de montrer que pour toute donnée endoscopique elliptique de ˜
M
et pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) nulle près des éléments exceptionnels s’il y en a, la
fonction
M
˜
M
(f ) est identiquement nulle. Il suffit donc de montrer que la fonction
(M
, δ) est identiquement nulle. Or on a vu en X.3.5 que cette fonction est à
valeurs dans l’ensemble des nombres complexes purement imaginaires. Le lemme
précédent assure que puisque M
= M
∇ elle est aussi à valeurs dans l’ensemble
des nombres réels. Elle est donc nulle.
Remarque. L’hypothèse du corollaire précédent équivaut à ce que les facteurs de
transfert puissent être choisis à valeurs réelles (ce qui force ω
2 = 1). On peut
démontrer ce corollaire plus directement.
En effet, pour γ, γ
des éléments semi-simples réguliers de ˜
M , on pose
a(γ, γ
) := c
−1
M ,δ
Δ M (δ, γ)Δ M (δ, γ
)
−1 (M
, δ),
où c est le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. On calcule directement,
en utilisant les inversions des facteurs de transfert :
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ
, ω, f ˜
M ),
où la somme sur γ
porte sur des représentants des classes de conjugaison d’éléments semi-simples dans ˜
M . Les nombres a(γ, γ
) sont purement imaginaires sous
l’hypothèse de la remarque puisque c’est le cas des nombres (M
, δ). On applique
l’égalité ci-dessus à f remplacé par f . Le terme de gauche est remplacé par son
conjugué puisque ω
2 = 1 et I
˜
M (γ
, ω, f ˜
M ) aussi. Donc on obtient, en appliquant
d’abord l’égalité à f
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ , ω, f ˜
M )
puis en conjuguant simplement l’égalité pour f
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = −
γ
a(γ, γ
)I
˜
M (γ , ω, f ˜
M ).
Cela force la nullité du terme de gauche.
Remarque. Les hypothèses de la remarque précédente sont satisfaites si ω = 1
pour GL(n) tordu que ce soit dans la situation du changement de base ou de la
torsion avec l’automorphisme g →
t g
−1 .