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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ici on a la forme stable de la formule des traces pour M
et la paire de
fonction (((M
, δ) + (M , δ))f
M
1, ˜
M
(δ), f
M
2, ˜
M
(δ)). On récrit (1) en utilisant la forme
spectrale de cette formule des traces donnée en X.3.3 (b). On se rappelle que
les fonctions f 2, ˜
M sont cuspidales et on obtient donc une intégrale sur iA
∗
˜
M,F
de
traces de représentations nécessairement elliptiques de M
(on n’a pas besoin de
les écrire). On compare (3) avec ce résultat comme distributions en f 2, ˜
M . Ces deux
distributions ne peuvent être égales que si elles sont toutes les deux nulles.
Fin de la preuve du théorème dans certains cas
En [I] en particulier dans le paragraphe 7.4 de cette référence, il a été défini une
bijection entre les classes d’isomorphie de données endoscopiques elliptiques pour
˜
M , ω et celles pour ˜
M, ω
−1 , notée M
→ M
∇ . A une classe de conjugaison stable
δ de M
correspond une classe de conjugaison stable de M
∇ mais ces deux classes
s’identifient naturellement (cf. [I] 7.4 (2)) et on garde la notation δ pour la classe
dans M
∇ . Les facteurs de transfert sont modifiés par le passage au complexe
conjugué.
Lemme. Avec les notations du paragraphe précédent, (M , δ) = (M
∇ , δ).
En [I] 7.4, il est démontré que pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, ω et pour toute fonction f ∈ I( ˜
G, ω), on a
f G = (f )
G
∇ .
Avec les propriétés des facteurs de transfert, on a immédiatement, pour tout élément γ semi-simple régulier de ˜
G :
I
˜
G,E
˜
M,ω
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M,ω −1 (γ, f );
on rajoute dans la notation le caractère puisqu’il varie.
˜
M (γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω
−1 , f ) − I
˜
G,E
˜
M,ω −1 (γ, f ) = ˜
M (γ, ω
−1 , f );
M
˜
M
(δ, f ) =
γ∈ ˜
M
Δ M (γ, δ)I
˜
M (γ, ω
−1 , , ˜
M,ω −1 (f )) =
M
∇ (δ, f ).
D’autre part, on a aussi f M
˜
M
(δ) = f ˜
M
M
∇ (δ) d’où en récrivant la définition de
(M
, δ) ou plutôt du conjugué de ce nombre :
M
∇ (δ, f ) = (M , δ)f ˜
M
M
∇ (δ)
et en comparant à la définition de (M
∇ , δ) on obtient le lemme.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Ici on a la forme stable de la formule des traces pour M
et la paire de
fonction (((M
, δ) + (M , δ))f
M
1, ˜
M
(δ), f
M
2, ˜
M
(δ)). On récrit (1) en utilisant la forme
spectrale de cette formule des traces donnée en X.3.3 (b). On se rappelle que
les fonctions f 2, ˜
M sont cuspidales et on obtient donc une intégrale sur iA
∗
˜
M,F
de
traces de représentations nécessairement elliptiques de M
(on n’a pas besoin de
les écrire). On compare (3) avec ce résultat comme distributions en f 2, ˜
M . Ces deux
distributions ne peuvent être égales que si elles sont toutes les deux nulles.
Fin de la preuve du théorème dans certains cas
En [I] en particulier dans le paragraphe 7.4 de cette référence, il a été défini une
bijection entre les classes d’isomorphie de données endoscopiques elliptiques pour
˜
M , ω et celles pour ˜
M, ω
−1 , notée M
→ M
∇ . A une classe de conjugaison stable
δ de M
correspond une classe de conjugaison stable de M
∇ mais ces deux classes
s’identifient naturellement (cf. [I] 7.4 (2)) et on garde la notation δ pour la classe
dans M
∇ . Les facteurs de transfert sont modifiés par le passage au complexe
conjugué.
Lemme. Avec les notations du paragraphe précédent, (M , δ) = (M
∇ , δ).
En [I] 7.4, il est démontré que pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, ω et pour toute fonction f ∈ I( ˜
G, ω), on a
f G = (f )
G
∇ .
Avec les propriétés des facteurs de transfert, on a immédiatement, pour tout élément γ semi-simple régulier de ˜
G :
I
˜
G,E
˜
M,ω
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M,ω −1 (γ, f );
on rajoute dans la notation le caractère puisqu’il varie.
˜
M (γ, ω, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ω
−1 , f ) − I
˜
G,E
˜
M,ω −1 (γ, f ) = ˜
M (γ, ω
−1 , f );
M
˜
M
(δ, f ) =
γ∈ ˜
M
Δ M (γ, δ)I
˜
M (γ, ω
−1 , , ˜
M,ω −1 (f )) =
M
∇ (δ, f ).
D’autre part, on a aussi f M
˜
M
(δ) = f ˜
M
M
∇ (δ) d’où en récrivant la définition de
(M
, δ) ou plutôt du conjugué de ce nombre :
M
∇ (δ, f ) = (M , δ)f ˜
M
M
∇ (δ)
et en comparant à la définition de (M
∇ , δ) on obtient le lemme.