X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1167
Début de la preuve de la nullité de (M
, δ)
On fait les hypothèses locales de récurrence et l’hypothèse clé 1.
Lemme. Avec les notations précédentes, (M
, δ) + (M , δ) = 0.
C’est la même preuve que [20] 6.5. On récrit X.3.2 pour des fonctions f 1 et
f 2 que l’on suppose ˜
M cuspidales, nulles près des éléments isolés si le corps est padique. On suppose aussi que le terme constant f 1, ˜
M est à support dans l’ensemble
des éléments réguliers de ˜
M . On voit que
(1)
˜
M ell /∼
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f 1 ))f 2, ˜
M (γ) + f 1, ˜
M (γ)I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f 2 )) dγ
vaut I
˜
G (ω, f 1 , f 2 )−
G i( ˜
G, G
)I
G
(f
G
1 , f
G
2 ). On récrit cela avec le côté spectral
et (1) vaut donc :
(2)
˜
L,χL,τ,τ
iA ∗
˜
G,F
dλ b( ˜
L, χ L , τ, τ
)tr τ λ f 1, ˜
L tr τ
λ f 2, ˜
L .
Dans le terme de droite, seuls interviennent les espaces de Levi contenant ˜
M
puisque les fonctions considérées sont ˜
M cuspidales. On montre par récurrence
descendante que le terme de (2) indexé par un espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M est nul : en effet le terme de (2) indexé par un espace de Levi ˜
L est
nul si et seulement si il est nul pour les fonctions ˜
L-cuspidales. Quand ˜
L contient
strictement ˜
M , on a déjà démontré la stabilisation locale géométrique (hypothèse
de récurrence) et (1) est donc nul ; c’est l’argument utilisé pour ˜
L = ˜
G dans le
premier corollaire de X.3.3. D’où l’assertion.
Ainsi (2) est réduit au terme indexé par ˜
M que l’on récrit :
(3)
iA ∗
˜
G,F
dλ
χM τ ,τ
b(χ M , τ
, τ
)tr τ
λ f 1, ˜
M tr τ
λ f 2, ˜
M ,
où la somme porte sur une base des représentations elliptiques de ˜
M modulo
l’action par tensorisation de iA
∗
˜
G,F
identifié à des caractères de ˜
M .
On revient à (1) que l’on interprète comme le terme géométrique de la formule
des traces locale pour ˜
M pour des fonctions cuspidales. On écrit ce côté géométrique comme transfert, donc une somme sur les groupes endoscopiques elliptiques
M
de ˜
M des termes
M
ell /∼
dδ M
˜
M
(f 1 )(δ)f
M
2, ˜
M
(δ)
plus un terme où on échange les rôles de f 1 et f 2 , à la conjugaison complexe près.
Avec l’hypothèse clé 1, cela se récrit comme somme sur les données endoscopiques
elliptiques M
de
M
ell /∼
dδ((M
, δ) + (M , δ))f M
1, ˜
M
(δ)f
M
2, ˜
M
(δ).
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Début de la preuve de la nullité de (M
, δ)
On fait les hypothèses locales de récurrence et l’hypothèse clé 1.
Lemme. Avec les notations précédentes, (M
, δ) + (M , δ) = 0.
C’est la même preuve que [20] 6.5. On récrit X.3.2 pour des fonctions f 1 et
f 2 que l’on suppose ˜
M cuspidales, nulles près des éléments isolés si le corps est padique. On suppose aussi que le terme constant f 1, ˜
M est à support dans l’ensemble
des éléments réguliers de ˜
M . On voit que
(1)
˜
M ell /∼
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f 1 ))f 2, ˜
M (γ) + f 1, ˜
M (γ)I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f 2 )) dγ
vaut I
˜
G (ω, f 1 , f 2 )−
G i( ˜
G, G
)I
G
(f
G
1 , f
G
2 ). On récrit cela avec le côté spectral
et (1) vaut donc :
(2)
˜
L,χL,τ,τ
iA ∗
˜
G,F
dλ b( ˜
L, χ L , τ, τ
)tr τ λ f 1, ˜
L tr τ
λ f 2, ˜
L .
Dans le terme de droite, seuls interviennent les espaces de Levi contenant ˜
M
puisque les fonctions considérées sont ˜
M cuspidales. On montre par récurrence
descendante que le terme de (2) indexé par un espace de Levi ˜
L contenant strictement ˜
M est nul : en effet le terme de (2) indexé par un espace de Levi ˜
L est
nul si et seulement si il est nul pour les fonctions ˜
L-cuspidales. Quand ˜
L contient
strictement ˜
M , on a déjà démontré la stabilisation locale géométrique (hypothèse
de récurrence) et (1) est donc nul ; c’est l’argument utilisé pour ˜
L = ˜
G dans le
premier corollaire de X.3.3. D’où l’assertion.
Ainsi (2) est réduit au terme indexé par ˜
M que l’on récrit :
(3)
iA ∗
˜
G,F
dλ
χM τ ,τ
b(χ M , τ
, τ
)tr τ
λ f 1, ˜
M tr τ
λ f 2, ˜
M ,
où la somme porte sur une base des représentations elliptiques de ˜
M modulo
l’action par tensorisation de iA
∗
˜
G,F
identifié à des caractères de ˜
M .
On revient à (1) que l’on interprète comme le terme géométrique de la formule
des traces locale pour ˜
M pour des fonctions cuspidales. On écrit ce côté géométrique comme transfert, donc une somme sur les groupes endoscopiques elliptiques
M
de ˜
M des termes
M
ell /∼
dδ M
˜
M
(f 1 )(δ)f
M
2, ˜
M
(δ)
plus un terme où on échange les rôles de f 1 et f 2 , à la conjugaison complexe près.
Avec l’hypothèse clé 1, cela se récrit comme somme sur les données endoscopiques
elliptiques M
de
M
ell /∼
dδ((M
, δ) + (M , δ))f M
1, ˜
M
(δ)f
M
2, ˜
M
(δ).