1166
Chapitre X. Stabilisation spectrale
avec l’hypothèse que f 2 est ˜
M -cuspidale. En utilisant X.3.2 cela se traduit par :
∀f 1 ∈ I( ˜
G, ω)
(1) 0 =
˜
L
w( ˜
L)(−1)
a ˜
L, ˜
G
˜
L ell /∼
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) dγ
(2)
+ w( ˜
M )(−1)
a ˜
M , ˜
G
˜
M ell /∼
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 )
I
˜
M (γ, ω, f 2, ˜
M ) dγ
(3)
+ w( ˜
M )(−1)
a ˜
M , ˜
G
˜
M ell /∼
I
˜
M (γ, ω, f 1, ˜
M )
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 2 )
dγ,
où la première somme ne porte que sur les espaces de Levi ˜
L ne contenant pas ˜
M
à conjugaison près (pour ces espaces de Levi, par définition, f 2, ˜
L = 0).
Rajoutons l’hypothèse que f 1 est nulle près des éléments exceptionnels ce qui
permet d’avoir la nullité des termes (2) ; ainsi on obtient que pour toute fonction
f 1 nulle près des éléments exceptionnels, on a
˜
L
w( ˜
L)(−1)
a ˜
L, ˜
G
˜
L ell /∼
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) dγ = 0,
où la somme porte sur les espaces de Levi de ˜
G ne contenant pas ˜
M à conjugaison
près et ˜
M lui-même.
En modifiant les coefficients, on peut ne sommer que sur les espaces de Levi
pris à conjugaison près. Mais en faisant varier f 1 , les fonctions I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) définie
sur ˜
L ell sont soumises uniquement au fait qu’elles sont invariantes sous le normalisateur dans G de ˜
L. Les fonctions
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
ont la même
propriété d’invariance. Ainsi chaque terme est nul et les fonctions que l’on intégre
sont nulles elles aussi au moins presque partout. Par continuité elles sont nulles
sur tous ces éléments. D’où pour tout espace de Levi ˜
L de ˜
G et pour toute fonction
f que l’on suppose ˜
M -cuspidale :
(4)
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ) = 0.
On reporte cette nullité dans (1),(2), (3), où on ne fait plus d’hypothèse sur f 1 et
on obtient alors la nullité :
∀f 1 ∈ I( ˜
G), I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 ).
Ceci est la réduction cherchée. Au passage on a démontré que les hypothèses de
récurrence et l’hypothèse clé, entraînent la stabilisation locale géométrique pour
toute fonction f supposée ˜
M -cuspidale et pour tout espace de Levi ˜
L ; mais cette
propriété ne sert pas dans la suite.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
avec l’hypothèse que f 2 est ˜
M -cuspidale. En utilisant X.3.2 cela se traduit par :
∀f 1 ∈ I( ˜
G, ω)
(1) 0 =
˜
L
w( ˜
L)(−1)
a ˜
L, ˜
G
˜
L ell /∼
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) dγ
(2)
+ w( ˜
M )(−1)
a ˜
M , ˜
G
˜
M ell /∼
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 )
I
˜
M (γ, ω, f 2, ˜
M ) dγ
(3)
+ w( ˜
M )(−1)
a ˜
M , ˜
G
˜
M ell /∼
I
˜
M (γ, ω, f 1, ˜
M )
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 2 )
dγ,
où la première somme ne porte que sur les espaces de Levi ˜
L ne contenant pas ˜
M
à conjugaison près (pour ces espaces de Levi, par définition, f 2, ˜
L = 0).
Rajoutons l’hypothèse que f 1 est nulle près des éléments exceptionnels ce qui
permet d’avoir la nullité des termes (2) ; ainsi on obtient que pour toute fonction
f 1 nulle près des éléments exceptionnels, on a
˜
L
w( ˜
L)(−1)
a ˜
L, ˜
G
˜
L ell /∼
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) dγ = 0,
où la somme porte sur les espaces de Levi de ˜
G ne contenant pas ˜
M à conjugaison
près et ˜
M lui-même.
En modifiant les coefficients, on peut ne sommer que sur les espaces de Levi
pris à conjugaison près. Mais en faisant varier f 1 , les fonctions I
˜
L (γ, ω, f 1, ˜
L ) définie
sur ˜
L ell sont soumises uniquement au fait qu’elles sont invariantes sous le normalisateur dans G de ˜
L. Les fonctions
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f 2 )
ont la même
propriété d’invariance. Ainsi chaque terme est nul et les fonctions que l’on intégre
sont nulles elles aussi au moins presque partout. Par continuité elles sont nulles
sur tous ces éléments. D’où pour tout espace de Levi ˜
L de ˜
G et pour toute fonction
f que l’on suppose ˜
M -cuspidale :
(4)
I
˜
G
˜
L
(γ, ω, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ) = 0.
On reporte cette nullité dans (1),(2), (3), où on ne fait plus d’hypothèse sur f 1 et
on obtient alors la nullité :
∀f 1 ∈ I( ˜
G), I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 ).
Ceci est la réduction cherchée. Au passage on a démontré que les hypothèses de
récurrence et l’hypothèse clé, entraînent la stabilisation locale géométrique pour
toute fonction f supposée ˜
M -cuspidale et pour tout espace de Levi ˜
L ; mais cette
propriété ne sert pas dans la suite.