X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1165
Dans les cas courants (avec ω = 1 ou seulement quadratique) par exemple
les cas de GL(n) tordu, cette seule hypothèse va suffire pour la stabilisation locale
des intégrales orbitales pondérées. Mais dans le cas général et en particulier si ω
n’est pas quadratique on a besoin de plus. On va utiliser l’hypothèse suivante, qui
est très facile à démontrer au moment où on démontre l’hypothèse clé 1 :
Hypothèse clé 2. On suppose que la situation locale est une composante locale d’une
situation globale : c’est-à-dire que F est un corps global, que v 0 est une place de F
et que ce qui nous intéresse est ce qui se passe en la place v 0 . On suppose aussi que
M
est une donnée endoscopique elliptique de la situation globale et que δ est un
élément semi-simple régulier de M
(F ). On fixe encore un ensemble V de places
de F contenant V ram et tel que, pour v ∈ V , M
soit non ramifiée en v et δ ∈ ˜
K
M
v
et on a donc défini pour tout v ∈ V , (M
, δ v ) noté v (M
, δ) alors :
v∈V
v (M
, δ) = 0.
Théorème. Sous les hypothèses faites, pour toute fonction f sur ˜
G et pour tout
élément γ fortement régulier de ˜
M , I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ).
On fait d’abord la réduction suivante : il suffit de montrer que (M
, δ) est une
fonction identiquement nulle pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M .
En effet supposons qu’il en soit ainsi, par inversion des facteurs de transfert, on en
déduit que pour toute fonction f ∈ I( ˜
G, ω), nulle près des éléments exceptionnels
si F v0 est p-adique et sans restriction si F v0 est archimédien, la fonction ˜
M (γ, f )
est identiquement nulle. C’est le résultat cherché pour ces fonctions f . Il faut donc
enlever la restriction dans le cas où F v0 est p-adique. Avec les formules de descente,
on se ramène immédiatement au cas où γ est elliptique dans ˜
M .
Comme le théorème est déjà montré pour les fonctions cuspidales (cf. la
deuxième remarque de X.3.4), on a le théorème pour toute fonction f dont la
composante de Paley–Wiener non cuspidale est nulle près des éléments exceptionnels. On considère f 1 , f 2 un couple d’éléments dans I( ˜
G, ω) ; on suppose que la
fonction f 2 est ˜
M cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels. Pour tout f 1
˜
M -cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels, on a :
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
geo (f 1 , f 2 ) = 0.
Ainsi les hypothèses du corollaire de X.3.3 sont satisfaites et on sait que
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
spec (f 1 , f 2 ) = 0,
sous la seule hypothèse que f 2 est ˜
M cuspidale et sans hypothèse sur f 1 . On récrit
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
geo (f 1 , f 2 ) = 0,
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Dans les cas courants (avec ω = 1 ou seulement quadratique) par exemple
les cas de GL(n) tordu, cette seule hypothèse va suffire pour la stabilisation locale
des intégrales orbitales pondérées. Mais dans le cas général et en particulier si ω
n’est pas quadratique on a besoin de plus. On va utiliser l’hypothèse suivante, qui
est très facile à démontrer au moment où on démontre l’hypothèse clé 1 :
Hypothèse clé 2. On suppose que la situation locale est une composante locale d’une
situation globale : c’est-à-dire que F est un corps global, que v 0 est une place de F
et que ce qui nous intéresse est ce qui se passe en la place v 0 . On suppose aussi que
M
est une donnée endoscopique elliptique de la situation globale et que δ est un
élément semi-simple régulier de M
(F ). On fixe encore un ensemble V de places
de F contenant V ram et tel que, pour v ∈ V , M
soit non ramifiée en v et δ ∈ ˜
K
M
v
et on a donc défini pour tout v ∈ V , (M
, δ v ) noté v (M
, δ) alors :
v∈V
v (M
, δ) = 0.
Théorème. Sous les hypothèses faites, pour toute fonction f sur ˜
G et pour tout
élément γ fortement régulier de ˜
M , I
˜
G
˜
M
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ).
On fait d’abord la réduction suivante : il suffit de montrer que (M
, δ) est une
fonction identiquement nulle pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M .
En effet supposons qu’il en soit ainsi, par inversion des facteurs de transfert, on en
déduit que pour toute fonction f ∈ I( ˜
G, ω), nulle près des éléments exceptionnels
si F v0 est p-adique et sans restriction si F v0 est archimédien, la fonction ˜
M (γ, f )
est identiquement nulle. C’est le résultat cherché pour ces fonctions f . Il faut donc
enlever la restriction dans le cas où F v0 est p-adique. Avec les formules de descente,
on se ramène immédiatement au cas où γ est elliptique dans ˜
M .
Comme le théorème est déjà montré pour les fonctions cuspidales (cf. la
deuxième remarque de X.3.4), on a le théorème pour toute fonction f dont la
composante de Paley–Wiener non cuspidale est nulle près des éléments exceptionnels. On considère f 1 , f 2 un couple d’éléments dans I( ˜
G, ω) ; on suppose que la
fonction f 2 est ˜
M cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels. Pour tout f 1
˜
M -cuspidale et nulle près des éléments exceptionnels, on a :
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
geo (f 1 , f 2 ) = 0.
Ainsi les hypothèses du corollaire de X.3.3 sont satisfaites et on sait que
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
spec (f 1 , f 2 ) = 0,
sous la seule hypothèse que f 2 est ˜
M cuspidale et sans hypothèse sur f 1 . On récrit
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) − I
˜
G,E
geo (f 1 , f 2 ) = 0,