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Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses
Hypothèses de récurrence locales géométriques propres : on suppose que pour
tout espace de Levi propre ˜
L de ˜
G et pour tout espace de Levi ˜
R de ˜
L, on sait
que pour tout f ∈ I( ˜
L, ω) et pour tout élément γ semi-simple régulier de ˜
R, on a
I
˜
L
˜
R
(ω, γ, f ) = I
˜
L,E
˜
R
(γ, f ).
Hypothèses de récurrence locales géométriques dépendant d’un espace de Levi
˜
M de ˜
G fixé : on suppose aussi que pour tout espace de Levi, ˜
L de ˜
G contenant
strictement ˜
M et pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et tout γ élément semi-simple régulier de
˜
L, I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ).
Ce sont des hypothèses de récurrence que l’on a évidemment le droit de
faire puisqu’on les initialise sans problème pour ˜
M = ˜
G. Par contre les deux
hypothèses ci-dessous sont d’une autre nature, on les démontrera via un argument
global en X.7.7. On fixe ˜
M un espace de Levi propre de ˜
G. On fixe aussi M
une donnée endoscopique elliptique de ˜
M ; on fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,
Δ M ; soit δ un élément semi-simple régulier de ˜
M
(F ) que l’on relève en un élément
δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ). On pose, pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) nul près des éléments exceptionnels
(quand il y en a)
(1)
M
˜
M
(f )(δ 1 ) :=
γ∈ ˜
M
Δ M (δ 1 , γ)z(γ)
−1 I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )),
où z(γ) est le nombre d’éléments de Cent M (γ, F )/ Cent
0
M (γ, F ). La fonction ˜
M (f )
est celle définie en [VIII] et [IX], c’est-à-dire que l’on a
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
Dans le cas p-adique, elle n’est définie que si f est nulle près des éléments exceptionnels.
Hypothèse clé 1. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M comme ci-dessus il existe une fonction lisse sur l’ensemble des éléments
semi-simples réguliers fortement réguliers de ˜
M
(F ), (M
, δ) telle que pour toute
fonction f sur ˜
G, nulle près des éléments exceptionnels et pour tout élément semisimple fortement régulier δ de M
, on a
M
˜
M
(f )(δ 1 ) = (M
, δ)f
M
˜
M
(δ 1 ),
où le terme de droite est évidemment défini comme dans (1).
Puisque les deux fonctions de δ 1 se transforment selon le même caractère du
tore central C 1 (F ), le terme (M
, δ) ne dépend bien que de δ. On voit facilement
qu’il ne dépend pas du choix des données auxiliaires. Dans la suite, on oublie ces
données qui ne sont pas importantes et on note simplement δ l’élément δ 1 .
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.3.5 Stabilisation géométrique sous hypothèses
Hypothèses de récurrence locales géométriques propres : on suppose que pour
tout espace de Levi propre ˜
L de ˜
G et pour tout espace de Levi ˜
R de ˜
L, on sait
que pour tout f ∈ I( ˜
L, ω) et pour tout élément γ semi-simple régulier de ˜
R, on a
I
˜
L
˜
R
(ω, γ, f ) = I
˜
L,E
˜
R
(γ, f ).
Hypothèses de récurrence locales géométriques dépendant d’un espace de Levi
˜
M de ˜
G fixé : on suppose aussi que pour tout espace de Levi, ˜
L de ˜
G contenant
strictement ˜
M et pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) et tout γ élément semi-simple régulier de
˜
L, I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ).
Ce sont des hypothèses de récurrence que l’on a évidemment le droit de
faire puisqu’on les initialise sans problème pour ˜
M = ˜
G. Par contre les deux
hypothèses ci-dessous sont d’une autre nature, on les démontrera via un argument
global en X.7.7. On fixe ˜
M un espace de Levi propre de ˜
G. On fixe aussi M
une donnée endoscopique elliptique de ˜
M ; on fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,
Δ M ; soit δ un élément semi-simple régulier de ˜
M
(F ) que l’on relève en un élément
δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ). On pose, pour tout f ∈ I( ˜
G, ω) nul près des éléments exceptionnels
(quand il y en a)
(1)
M
˜
M
(f )(δ 1 ) :=
γ∈ ˜
M
Δ M (δ 1 , γ)z(γ)
−1 I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )),
où z(γ) est le nombre d’éléments de Cent M (γ, F )/ Cent
0
M (γ, F ). La fonction ˜
M (f )
est celle définie en [VIII] et [IX], c’est-à-dire que l’on a
I
˜
M (γ, ω, , ˜
M (f )) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ).
Dans le cas p-adique, elle n’est définie que si f est nulle près des éléments exceptionnels.
Hypothèse clé 1. On suppose que pour toute donnée endoscopique elliptique M
de ˜
M comme ci-dessus il existe une fonction lisse sur l’ensemble des éléments
semi-simples réguliers fortement réguliers de ˜
M
(F ), (M
, δ) telle que pour toute
fonction f sur ˜
G, nulle près des éléments exceptionnels et pour tout élément semisimple fortement régulier δ de M
, on a
M
˜
M
(f )(δ 1 ) = (M
, δ)f
M
˜
M
(δ 1 ),
où le terme de droite est évidemment défini comme dans (1).
Puisque les deux fonctions de δ 1 se transforment selon le même caractère du
tore central C 1 (F ), le terme (M
, δ) ne dépend bien que de δ. On voit facilement
qu’il ne dépend pas du choix des données auxiliaires. Dans la suite, on oublie ces
données qui ne sont pas importantes et on note simplement δ l’élément δ 1 .