X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1163
Ainsi avec l’hypothèse on sait que (1) est nulle si en plus f 1 est nulle près des
éléments exceptionnels, on voit que (1) restreint à f 2 fixé comme dans l’énoncé est
une forme linéaire sur les éléments de I( ˜
G, ω) de composante elliptique nulle qui est
nécessairement une combinaison linéaire convenable des intégrales orbitales en les
points isolés. A la suite de [12], on a montré qu’une intégrale orbitale est une somme
d’intégrales sur les espaces iA
∗
˜
L,F
(quand ˜
L parcourt l’ensemble des sous-espaces
de Levi de ˜
G) de traces d’induites de représentations elliptiques de l’espace de Levi
˜
L (cf [62], théorème du paragraphe 5). Par hypothèse sur la composante elliptique
de f 1 , seuls les espaces ˜
L propres interviennent de façon éventuellement non nulle.
Mais en revenant à la définition de (1) comme intégrale sur iA
∗
˜
G,F
l’égalité des
deux distributions est impossible sans que chacune des distributions soit nulle.
Ainsi (1) est nul sous la seule hypothèse que f 1 a sa composante elliptique nulle,
ce qui prouve (ii).
Remarque. En jouant sur la symétrie entre f 1 et f 2 , on vient de montrer que
(1) est nulle pour tout couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dans I( ˜
G, ω) dont l’une est ˜
M
cuspidale si et seulement si cela est vrai pour tout couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dont
on suppose que les deux sont ˜
M cuspidales et que les deux ont une composante
non elliptique nulle près des éléments isolés (condition que l’on n’impose que pour
les places p-adiques).
Remarque. On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Supposons que l’on sache que pour
toute fonction f et pour tout espace de Levi contenant ˜
M , y compris ˜
L = ˜
M , on
ait pour tout γ élément semi-simple régulier de ˜
L,
(2)
I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ),
alors pour toute fonction f qui est ˜
M -cuspidale, (2) est vrai pour tout espace
de Levi ˜
L de ˜
G sans restriction. En particulier (2) est vrai pour toute fonction
cuspidale sur ˜
G et pour tout espace de Levi ˜
L.
En effet, d’après l’hypothèse, la formule des traces locales pour deux fonctions
f 1 , f 2 de ˜
G toutes deux ˜
M cuspidales est stabilisable, c’est-à dire que (1) est nulle
sous ces conditions. D’après la remarque précédente, (1) est nulle sous la seule
hypothèse que f 1 est ˜
M cuspidale, donc sans hypothèse sur f 2 . Cela force la nullité
du côté géométrique de X.3.2 pour toute fonction f 2 et pour f 1 = f comme dans
l’énoncé. En utilisant l’hypothèse (2) et la ˜
M cuspidalité de f = f 1 , on obtient
qu’une combinaison linéaire des termes
˜
L ell /∼
i
(γ)(I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ))I
˜
L (γ, ω, f 2, ˜
L )
est nulle sans hypothèse sur f 2 . Cela force la nullité des fonctions
I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ).
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Ainsi avec l’hypothèse on sait que (1) est nulle si en plus f 1 est nulle près des
éléments exceptionnels, on voit que (1) restreint à f 2 fixé comme dans l’énoncé est
une forme linéaire sur les éléments de I( ˜
G, ω) de composante elliptique nulle qui est
nécessairement une combinaison linéaire convenable des intégrales orbitales en les
points isolés. A la suite de [12], on a montré qu’une intégrale orbitale est une somme
d’intégrales sur les espaces iA
∗
˜
L,F
(quand ˜
L parcourt l’ensemble des sous-espaces
de Levi de ˜
G) de traces d’induites de représentations elliptiques de l’espace de Levi
˜
L (cf [62], théorème du paragraphe 5). Par hypothèse sur la composante elliptique
de f 1 , seuls les espaces ˜
L propres interviennent de façon éventuellement non nulle.
Mais en revenant à la définition de (1) comme intégrale sur iA
∗
˜
G,F
l’égalité des
deux distributions est impossible sans que chacune des distributions soit nulle.
Ainsi (1) est nul sous la seule hypothèse que f 1 a sa composante elliptique nulle,
ce qui prouve (ii).
Remarque. En jouant sur la symétrie entre f 1 et f 2 , on vient de montrer que
(1) est nulle pour tout couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dans I( ˜
G, ω) dont l’une est ˜
M
cuspidale si et seulement si cela est vrai pour tout couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dont
on suppose que les deux sont ˜
M cuspidales et que les deux ont une composante
non elliptique nulle près des éléments isolés (condition que l’on n’impose que pour
les places p-adiques).
Remarque. On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Supposons que l’on sache que pour
toute fonction f et pour tout espace de Levi contenant ˜
M , y compris ˜
L = ˜
M , on
ait pour tout γ élément semi-simple régulier de ˜
L,
(2)
I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ),
alors pour toute fonction f qui est ˜
M -cuspidale, (2) est vrai pour tout espace
de Levi ˜
L de ˜
G sans restriction. En particulier (2) est vrai pour toute fonction
cuspidale sur ˜
G et pour tout espace de Levi ˜
L.
En effet, d’après l’hypothèse, la formule des traces locales pour deux fonctions
f 1 , f 2 de ˜
G toutes deux ˜
M cuspidales est stabilisable, c’est-à dire que (1) est nulle
sous ces conditions. D’après la remarque précédente, (1) est nulle sous la seule
hypothèse que f 1 est ˜
M cuspidale, donc sans hypothèse sur f 2 . Cela force la nullité
du côté géométrique de X.3.2 pour toute fonction f 2 et pour f 1 = f comme dans
l’énoncé. En utilisant l’hypothèse (2) et la ˜
M cuspidalité de f = f 1 , on obtient
qu’une combinaison linéaire des termes
˜
L ell /∼
i
(γ)(I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ))I
˜
L (γ, ω, f 2, ˜
L )
est nulle sans hypothèse sur f 2 . Cela force la nullité des fonctions
I
˜
G
˜
L
(ω, γ, f ) − I
˜
G,E
˜
L
(γ, f ).