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Chapitre X. Stabilisation spectrale
que pour certains ˜
G, ω et on ne les considère que dans ces cas. On a besoin de
les considérer séparément à cause des hypothèses de la proposition de [VIII] 4.4.
C’est pour cela qu’il vaut mieux les appeler exceptionnels. Ceci dit pour nous
la seule chose qui nous importe est qu’ils n’apparaissent pas sur un corps local
archimédien.
On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une fonction f ∈ I( ˜
G, ω). On dit que
f est ˜
M cuspidale si les termes constants de f sont nuls pour tout espace de Levi
qui ne contient pas, à conjugaison près, ˜
M (c’est la généralisation immédiate de
la définition donnée en [20] avant le lemme 2.3)
Corollaire. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et on fixe f 2 ∈ I( ˜
G, ω) en supposant
que f 2 est ˜
M -cuspidale.
(i)
(1)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = 0
pour toute fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) si et seulement si cela est vrai pour toute
fonction f 1 qui est ˜
M -cuspidale.
(ii) On suppose que le corps de base est p-adique. Alors
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = 0
pour toute fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) si et seulement si cela est vrai pour toute
fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) où l’on suppose que f 1 est ˜
M cuspidale et a une composante non elliptique nulle près des éléments isolés.
Comme on suppose que f 2 est ˜
M cuspidale, dans (1) il suffit de sommer
sur les espaces de Levi contenant ˜
M . On fixe f 1 et on note f
1 une fonction dans
I( ˜
G, ω) qui a même composante de Paley–Wiener que f 1 pour tous les espaces
de Levi contenant ˜
M et qui vaut 0 ailleurs. Vérifions que f
1 est ˜
M cuspidale :
puisque les traces de cette fonction pour toute induite à partir d’un espace de
Levi ne contenant pas ˜
M sont nulles, on applique le théorème 0 de [81] 5.5. Pour
cela on fixe ˜
L un espace de Levi de ˜
G dont aucun conjugué ne contient ˜
M et une
représentation π ˜
L de cet espace de Levi. Comme la trace de f
1 sur l’induite de
π ˜
L est nulle, la trace du terme constant f
1, ˜
L
sur π ˜
L est nulle. On sait alors que le
terme constant de f
1 pour un tel espace de Levi a toutes ses intégrales orbitales
semi-simples régulières nulles et donc que f
1 est bien ˜
M -cuspidale. Cela démontre
le (i) du corollaire.
Pour le (ii) du corollaire, on suppose comme dans l’énoncé que le corps de
base est p-adique. Comme on l’a remarqué dans le corollaire précédent, dans (1)
n’interviennent que des espaces de Levi propres de ˜
G et des représentations elliptiques de ces espaces de Levi. Ainsi (1) est certainement nul si f 1 est cuspidale.
On peut donc dès le départ supposer que f 1 a sa composante elliptique nulle.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
que pour certains ˜
G, ω et on ne les considère que dans ces cas. On a besoin de
les considérer séparément à cause des hypothèses de la proposition de [VIII] 4.4.
C’est pour cela qu’il vaut mieux les appeler exceptionnels. Ceci dit pour nous
la seule chose qui nous importe est qu’ils n’apparaissent pas sur un corps local
archimédien.
On fixe un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une fonction f ∈ I( ˜
G, ω). On dit que
f est ˜
M cuspidale si les termes constants de f sont nuls pour tout espace de Levi
qui ne contient pas, à conjugaison près, ˜
M (c’est la généralisation immédiate de
la définition donnée en [20] avant le lemme 2.3)
Corollaire. On fixe ˜
M un espace de Levi de ˜
G et on fixe f 2 ∈ I( ˜
G, ω) en supposant
que f 2 est ˜
M -cuspidale.
(i)
(1)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = 0
pour toute fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) si et seulement si cela est vrai pour toute
fonction f 1 qui est ˜
M -cuspidale.
(ii) On suppose que le corps de base est p-adique. Alors
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = 0
pour toute fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) si et seulement si cela est vrai pour toute
fonction f 1 ∈ I( ˜
G, ω) où l’on suppose que f 1 est ˜
M cuspidale et a une composante non elliptique nulle près des éléments isolés.
Comme on suppose que f 2 est ˜
M cuspidale, dans (1) il suffit de sommer
sur les espaces de Levi contenant ˜
M . On fixe f 1 et on note f
1 une fonction dans
I( ˜
G, ω) qui a même composante de Paley–Wiener que f 1 pour tous les espaces
de Levi contenant ˜
M et qui vaut 0 ailleurs. Vérifions que f
1 est ˜
M cuspidale :
puisque les traces de cette fonction pour toute induite à partir d’un espace de
Levi ne contenant pas ˜
M sont nulles, on applique le théorème 0 de [81] 5.5. Pour
cela on fixe ˜
L un espace de Levi de ˜
G dont aucun conjugué ne contient ˜
M et une
représentation π ˜
L de cet espace de Levi. Comme la trace de f
1 sur l’induite de
π ˜
L est nulle, la trace du terme constant f
1, ˜
L
sur π ˜
L est nulle. On sait alors que le
terme constant de f
1 pour un tel espace de Levi a toutes ses intégrales orbitales
semi-simples régulières nulles et donc que f
1 est bien ˜
M -cuspidale. Cela démontre
le (i) du corollaire.
Pour le (ii) du corollaire, on suppose comme dans l’énoncé que le corps de
base est p-adique. Comme on l’a remarqué dans le corollaire précédent, dans (1)
n’interviennent que des espaces de Levi propres de ˜
G et des représentations elliptiques de ces espaces de Levi. Ainsi (1) est certainement nul si f 1 est cuspidale.
On peut donc dès le départ supposer que f 1 a sa composante elliptique nulle.