X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
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stabilisation spectrale. Comme dans le cas à torsion intérieure, on fixe un ensemble
de représentants dans le quotient du groupe des caractères unitaires de A ˜
G (F )
modulo l’action par tensorisation de iA
∗
˜
G,F
et pour χ un tel représentant, on
considère les couples ˜
M , χ M formés d’un espace de Levi de ˜
G et d’un caractère
unitaire de A ˜
M (F ) prolongeant χ. On fixe une base B( ˜
M, χ M ) du groupe de
Grothendieck (complexifié) des représentations elliptiques de ˜
M se transformant
via χ M sous A ˜
M (F ).
Lemme. Pour tout χ et pour tout ˜
M , χ M et τ, τ
∈ B(M, χ M ), il existe un système
de coefficients a( ˜
M , χ M , τ, τ
) nul pour presque tout χ M , tel que pour toute paire
de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G, on ait :
(∗)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 )
(1)
=
iA ∗
˜
G,F
dλ
˜
M,χM
τ,τ ∈B
˜
M (χM )
a( ˜
M, χ M , τ, τ
)tr τ λ (f 1, ˜
M )tr τ
λ (f 2, ˜
M ).
Cela se démontre comme dans le cas de torsion intérieure, et ici on s’attend
à ce que les coefficients soient tous nuls et on le démontrera.
Remarque. Dans l’énoncé précédent, la somme ne porte que sur les ˜
M sous-espace
de Levi propre de ˜
G.
En effet, supposons que f 1 et f 2 soient cuspidales. Alors dans (1) ne reste
que le terme pour ˜
M = ˜
G. On écrit (∗) à l’aide de l’écriture géométrique de
X.3.2. Comme on suppose que f 1 et f 2 sont cuspidales les termes constants de f 1
et f 2 pour les espaces de Levi propres de ˜
G ont toutes leurs intégrales orbitales
nulles. Avec X.3.2, on sait que (∗) est nul. Donc (1) est nul pour toutes f 1 , f 2
cuspidales. Via la trace tordue, les fonctions cuspidales séparent les éléments d’une
base B( ˜
G, χ) pour χ fixé. Par inversion de Fourier, on conclut alors à la nullité des
a( ˜
G, χ, τ, τ
) quand τ et τ
parcourt une base des représentations elliptiques de ˜
G
de caractère χ en restriction à A ˜
G (F ) comme dans l’énoncé du lemme.
X.3.4 Elimination de certaines conditions
On va aussi en déduire le corollaire ci-dessous. On a besoin de la terminologie
suivante. Une fonction f ∈ I( ˜
G, ω) se décompose suivant le théorème de Paley–
Wiener en une composante cuspidale et une composante dite non elliptique dont
la trace est nulle sur toute les ω représentations elliptiques de ˜
G. On a aussi besoin
de la notion d’éléments isolés ou plus exactement exceptionnels. Ils sont définis en
[VIII] 4.4 : ces éléments n’apparaissent que pour certains choix de ˜
G, ω (donnés
en [III] 6.3) et sont tels que leur partie semi-simple stabilise une paire de Borel
épinglée ; appelons un tel élément un élément isolé. C’est une généralisation de la
notion d’élément unipotents modulo le centre du cas non tordu mais ils ne gênent
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stabilisation spectrale. Comme dans le cas à torsion intérieure, on fixe un ensemble
de représentants dans le quotient du groupe des caractères unitaires de A ˜
G (F )
modulo l’action par tensorisation de iA
∗
˜
G,F
et pour χ un tel représentant, on
considère les couples ˜
M , χ M formés d’un espace de Levi de ˜
G et d’un caractère
unitaire de A ˜
M (F ) prolongeant χ. On fixe une base B( ˜
M, χ M ) du groupe de
Grothendieck (complexifié) des représentations elliptiques de ˜
M se transformant
via χ M sous A ˜
M (F ).
Lemme. Pour tout χ et pour tout ˜
M , χ M et τ, τ
∈ B(M, χ M ), il existe un système
de coefficients a( ˜
M , χ M , τ, τ
) nul pour presque tout χ M , tel que pour toute paire
de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G, on ait :
(∗)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 )
(1)
=
iA ∗
˜
G,F
dλ
˜
M,χM
τ,τ ∈B
˜
M (χM )
a( ˜
M, χ M , τ, τ
)tr τ λ (f 1, ˜
M )tr τ
λ (f 2, ˜
M ).
Cela se démontre comme dans le cas de torsion intérieure, et ici on s’attend
à ce que les coefficients soient tous nuls et on le démontrera.
Remarque. Dans l’énoncé précédent, la somme ne porte que sur les ˜
M sous-espace
de Levi propre de ˜
G.
En effet, supposons que f 1 et f 2 soient cuspidales. Alors dans (1) ne reste
que le terme pour ˜
M = ˜
G. On écrit (∗) à l’aide de l’écriture géométrique de
X.3.2. Comme on suppose que f 1 et f 2 sont cuspidales les termes constants de f 1
et f 2 pour les espaces de Levi propres de ˜
G ont toutes leurs intégrales orbitales
nulles. Avec X.3.2, on sait que (∗) est nul. Donc (1) est nul pour toutes f 1 , f 2
cuspidales. Via la trace tordue, les fonctions cuspidales séparent les éléments d’une
base B( ˜
G, χ) pour χ fixé. Par inversion de Fourier, on conclut alors à la nullité des
a( ˜
G, χ, τ, τ
) quand τ et τ
parcourt une base des représentations elliptiques de ˜
G
de caractère χ en restriction à A ˜
G (F ) comme dans l’énoncé du lemme.
X.3.4 Elimination de certaines conditions
On va aussi en déduire le corollaire ci-dessous. On a besoin de la terminologie
suivante. Une fonction f ∈ I( ˜
G, ω) se décompose suivant le théorème de Paley–
Wiener en une composante cuspidale et une composante dite non elliptique dont
la trace est nulle sur toute les ω représentations elliptiques de ˜
G. On a aussi besoin
de la notion d’éléments isolés ou plus exactement exceptionnels. Ils sont définis en
[VIII] 4.4 : ces éléments n’apparaissent que pour certains choix de ˜
G, ω (donnés
en [III] 6.3) et sont tels que leur partie semi-simple stabilise une paire de Borel
épinglée ; appelons un tel élément un élément isolé. C’est une généralisation de la
notion d’élément unipotents modulo le centre du cas non tordu mais ils ne gênent