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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Proposition.
(i) On ne fait pas d’hypothèse sur ˜
G, ω.
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 )
=
iA ∗
˜
G,F
dλ
˜
M,χ ˜
M ,τ
| Stab W G ×iA ∗
˜
G
(ind τ )|
−1 ι(ind τ )tr τ λ (f 1, ˜
M ) tr τ λ (f 2, ˜
M )
où ˜
M parcourt les classes de conjugaison d’espaces de Levi et où les τ parcourt l’ensemble des représentations elliptiques de ˜
M dont l’induite à ˜
G est
irréductible (modulo conjugaison sous le normalisateur de ˜
M dans G) de caractère central χ M .
(ii) Ici on suppose que ˜
G, ω est à torsion intérieure avec ω = 1 et G quasidéployé. Il existe un système de coefficients b( ˜
M , χ ˜
M , φ, φ
) centralement fini
indexé par les données précédant l’énoncé (les espaces de Levi sont pris à
conjugaison près), identiquement nul pour presque tout χ M tel que pour toute
paire de fonctions f 1 , f 2 ,
SI
˜
G
spec (f 1 , f 2 ) =
iA ∗
˜
G,F
˜
M,χM ,φ,φ
b( ˜
M , χ M , φ, φ
)tr φ λ (f 1, ˜
M )tr φ
λ (f 2, ˜
M ) dλ,
où l’indice λ est la tensorisation par λ.
(i) Il faut d’abord remarquer que dans I
˜
G
spec seules des représentations discrètes de ˜
G interviennent. De plus, on a bien une somme d’intégrales sur iA
∗
˜
G,F
de produit tr τ λ (f 1 ) tr τ λ (f 2 ), où comme on vient de le dire τ est discrète. Or une
représentation discrète est induite d’une représentation elliptique comme on l’a vu
dans X.3.3 pour un unique espace de Levi de ˜
G (unique à conjugaison près). Cela
donne (i)
(ii) On raisonne comme dans la proposition précédente : on applique le résultat par récurrence aux données endoscopiques elliptiques propres. On remarque
qu’un sous-groupe de Levi, M
d’une donnée endoscopique elliptique G
qui n’est
pas relevant pour ˜
G a une contribution nulle car il s’applique à f
G
M = 0. On n’a
donc qu’à transférer des représentations elliptiques stables de sous-groupes endoscopiques elliptiques d’espaces de Levi de ˜
G. Un tel transfert est une combinaison
linéaire de représentations elliptiques de ce sous-espace de Levi. Cela montre une
formule comme dans l’énoncé mais sans savoir que les φ et φ
sont stables.
Pour avoir cette stabilité, on utilise encore [IV] 2.8 dans le cas archimédien
et le paragraphe 2 de [XI] dans le cas p-adique.
Remarque sur la stabilisation locale spectrale
Ici on revient à un espace ˜
G général, donc on ne connaît plus la stabilisation
des intégrales orbitales pondérées et on n’a ni la stabilisation géométrique ni la
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Proposition.
(i) On ne fait pas d’hypothèse sur ˜
G, ω.
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 )
=
iA ∗
˜
G,F
dλ
˜
M,χ ˜
M ,τ
| Stab W G ×iA ∗
˜
G
(ind τ )|
−1 ι(ind τ )tr τ λ (f 1, ˜
M ) tr τ λ (f 2, ˜
M )
où ˜
M parcourt les classes de conjugaison d’espaces de Levi et où les τ parcourt l’ensemble des représentations elliptiques de ˜
M dont l’induite à ˜
G est
irréductible (modulo conjugaison sous le normalisateur de ˜
M dans G) de caractère central χ M .
(ii) Ici on suppose que ˜
G, ω est à torsion intérieure avec ω = 1 et G quasidéployé. Il existe un système de coefficients b( ˜
M , χ ˜
M , φ, φ
) centralement fini
indexé par les données précédant l’énoncé (les espaces de Levi sont pris à
conjugaison près), identiquement nul pour presque tout χ M tel que pour toute
paire de fonctions f 1 , f 2 ,
SI
˜
G
spec (f 1 , f 2 ) =
iA ∗
˜
G,F
˜
M,χM ,φ,φ
b( ˜
M , χ M , φ, φ
)tr φ λ (f 1, ˜
M )tr φ
λ (f 2, ˜
M ) dλ,
où l’indice λ est la tensorisation par λ.
(i) Il faut d’abord remarquer que dans I
˜
G
spec seules des représentations discrètes de ˜
G interviennent. De plus, on a bien une somme d’intégrales sur iA
∗
˜
G,F
de produit tr τ λ (f 1 ) tr τ λ (f 2 ), où comme on vient de le dire τ est discrète. Or une
représentation discrète est induite d’une représentation elliptique comme on l’a vu
dans X.3.3 pour un unique espace de Levi de ˜
G (unique à conjugaison près). Cela
donne (i)
(ii) On raisonne comme dans la proposition précédente : on applique le résultat par récurrence aux données endoscopiques elliptiques propres. On remarque
qu’un sous-groupe de Levi, M
d’une donnée endoscopique elliptique G
qui n’est
pas relevant pour ˜
G a une contribution nulle car il s’applique à f
G
M = 0. On n’a
donc qu’à transférer des représentations elliptiques stables de sous-groupes endoscopiques elliptiques d’espaces de Levi de ˜
G. Un tel transfert est une combinaison
linéaire de représentations elliptiques de ce sous-espace de Levi. Cela montre une
formule comme dans l’énoncé mais sans savoir que les φ et φ
sont stables.
Pour avoir cette stabilité, on utilise encore [IV] 2.8 dans le cas archimédien
et le paragraphe 2 de [XI] dans le cas p-adique.
Remarque sur la stabilisation locale spectrale
Ici on revient à un espace ˜
G général, donc on ne connaît plus la stabilisation
des intégrales orbitales pondérées et on n’a ni la stabilisation géométrique ni la