X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1159
Dans le cas de torsion intérieure que nous sommes en train de considérer, il
a été montré en [V] 1.13, que les intégrales orbitales pondérées équivariantes pour
les éléments fortement réguliers sont stabilisables c’est-à-dire que
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f )
en de tels points γ. Ainsi la partie géométrique de la formule des traces locales est
stabilisable ou encore le membre de gauche de (3) dans X.3.1 est nul (cf. X.3.2).
Ainsi on a une distribution du côté spectral qui est stable c’est-à-dire nulle si
on l’applique à un couple de fonctions f 1 , f 2 où l’une des fonctions annule toutes
les intégrales orbitales semi-simples stables.
Fixons f 1 ∈ I( ˜
G) d’image nulle dans SI( ˜
G) ; f 2 varie librement donc l’application π → tr π(f 2 ) décrit toutes les fonctions de Paley–Wiener sur l’ensemble des
représentations tempérées de ˜
G. Cela prouve que si φ
parcourt une base des représentation tempérées (ayant les propriétés d’orthogonalité que nous avons fixées),
le coefficient de φ
qui est une fonction de f 1 est nul quand on l’évalue en f 1 . Ainsi
on peut faire parcourir à φ une base des représentations stables (cf. [XI] paragraphe 2 et [IV] 2.8 dans le cas archimédien) modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
; comme
l’application I( ˜
G) → SI( ˜
G) est surjective, on échange les rôles de f 1 et f 2 pour
obtenir le résultat annoncé.
Description plus fine du côté spectral de la formule des traces locale
On peut améliorer la proposition précédente en découpant suivant les espaces de
Levi de ˜
G et leurs représentations elliptiques. On fixe toujours un ensemble de
représentants des caractères unitaires de A ˜
G (F ) modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
. Pour
χ un tel représentant, on considère l’ensemble fini de couples ( ˜
M , χ M ) satisfaisant
le lemme de X.3.3. Pour ( ˜
M , χ M ) dans cet ensemble on fixe Quand on a fixé
un tel caractère et si ˜
G, ω est à torsion intérieure comme dans le paragraphe
précédent, on fixe aussi une base orthogonale (pour le produit scalaire elliptique)
de l’ensemble des représentations elliptiques stables de ˜
M sur lesquelles A ˜
M (F )
agit par ce caractère ; on note B(χ M ) cette base.
On utilise la notation ambiguë suivante : soit ˜
L un espace de Levi de ˜
G et
soit τ une représentation elliptique de ˜
L, c’est à dire correspondant à un triplet
elliptique de [81] 2.11 qui avec les notations de [81] est de la forme (M, σ, ˜
w) ; ici
M est un sous-groupe de Levi de L et n’a rien à voir avec les ˜
M de ce paragraphe.
On dit que l’induite de τ de ˜
L à ˜
G est irréductible si le ˜
R-groupe de σ calculé
dans ˜
L est aussi celui calculé dans ˜
G, c’est-à-dire que le morphisme de W
˜
L (σ)
dans W
G
0 (σ)\W
˜
G (σ) est un isomorphisme ; ce morphisme est injectif car τ a été
supposé elliptique et c’est la surjectivité qui est la condition. La représentation
induite de τ est une représentation discrète de ˜
G pour laquelle ι(ind τ ) est bien
défini ([81] 2.11).
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Dans le cas de torsion intérieure que nous sommes en train de considérer, il
a été montré en [V] 1.13, que les intégrales orbitales pondérées équivariantes pour
les éléments fortement réguliers sont stabilisables c’est-à-dire que
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f )
en de tels points γ. Ainsi la partie géométrique de la formule des traces locales est
stabilisable ou encore le membre de gauche de (3) dans X.3.1 est nul (cf. X.3.2).
Ainsi on a une distribution du côté spectral qui est stable c’est-à-dire nulle si
on l’applique à un couple de fonctions f 1 , f 2 où l’une des fonctions annule toutes
les intégrales orbitales semi-simples stables.
Fixons f 1 ∈ I( ˜
G) d’image nulle dans SI( ˜
G) ; f 2 varie librement donc l’application π → tr π(f 2 ) décrit toutes les fonctions de Paley–Wiener sur l’ensemble des
représentations tempérées de ˜
G. Cela prouve que si φ
parcourt une base des représentation tempérées (ayant les propriétés d’orthogonalité que nous avons fixées),
le coefficient de φ
qui est une fonction de f 1 est nul quand on l’évalue en f 1 . Ainsi
on peut faire parcourir à φ une base des représentations stables (cf. [XI] paragraphe 2 et [IV] 2.8 dans le cas archimédien) modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
; comme
l’application I( ˜
G) → SI( ˜
G) est surjective, on échange les rôles de f 1 et f 2 pour
obtenir le résultat annoncé.
Description plus fine du côté spectral de la formule des traces locale
On peut améliorer la proposition précédente en découpant suivant les espaces de
Levi de ˜
G et leurs représentations elliptiques. On fixe toujours un ensemble de
représentants des caractères unitaires de A ˜
G (F ) modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
. Pour
χ un tel représentant, on considère l’ensemble fini de couples ( ˜
M , χ M ) satisfaisant
le lemme de X.3.3. Pour ( ˜
M , χ M ) dans cet ensemble on fixe Quand on a fixé
un tel caractère et si ˜
G, ω est à torsion intérieure comme dans le paragraphe
précédent, on fixe aussi une base orthogonale (pour le produit scalaire elliptique)
de l’ensemble des représentations elliptiques stables de ˜
M sur lesquelles A ˜
M (F )
agit par ce caractère ; on note B(χ M ) cette base.
On utilise la notation ambiguë suivante : soit ˜
L un espace de Levi de ˜
G et
soit τ une représentation elliptique de ˜
L, c’est à dire correspondant à un triplet
elliptique de [81] 2.11 qui avec les notations de [81] est de la forme (M, σ, ˜
w) ; ici
M est un sous-groupe de Levi de L et n’a rien à voir avec les ˜
M de ce paragraphe.
On dit que l’induite de τ de ˜
L à ˜
G est irréductible si le ˜
R-groupe de σ calculé
dans ˜
L est aussi celui calculé dans ˜
G, c’est-à-dire que le morphisme de W
˜
L (σ)
dans W
G
0 (σ)\W
˜
G (σ) est un isomorphisme ; ce morphisme est injectif car τ a été
supposé elliptique et c’est la surjectivité qui est la condition. La représentation
induite de τ est une représentation discrète de ˜
G pour laquelle ι(ind τ ) est bien
défini ([81] 2.11).