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Chapitre X. Stabilisation spectrale
La remarque entraîne le lemme. En effet si π comme dans la remarque a pour
restriction à A ˜
G (F ) le caractère χ, σ M a la même propriété. La représentation σ M
a pour restriction à A ˜
M (F ) la restriction du caractère central d’une représentation
d’un sous-groupe de Levi de G invariant sous un élément régulier du groupe de
Weyl de ce sous-groupe de Levi. Par définition de la régularité cela ne laisse qu’un
nombre fini de possibilités.
Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales
On revient à la situation de X.3.3 On suppose défini par récurrence le côté spectral
stable pour les groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G propres, noté SI
G
spec , de la
forme :
SI
G
spec (f
1 , f
2 ) =
χ
φ,φ ∈B G
χ
iA ∗
G ,F
dλb
G
(φ, φ
)tr φ λ (f
1 )tr φ
λ (f
2 )
avec un ensemble de nombres complexes b
G
(φ, φ
) centralement fini.
Il faut remarquer que le sous-groupe de iA
∗
G ,F formé des caractères dont la
restriction à A G (F ) est trivial opère sur l’ensemble des représentations stables
ayant un caractère sur A G (F ) fixé. Comme on intégre sur iA
∗
G ,F , on demande
aussi à
φ,φ b
G
(φ, φ
)φ ⊗ φ
d’être invariant sous cette action.
Proposition. Il existe un système de coefficients centralement fini b(φ, φ
) associé
au triplet χ, φ, φ
comme ci-dessus tel que en notant SI
˜
G
spec la distribution obtenue
en intégrant (1) sur iA
∗
˜
G,F
, on ait pour toute paire de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G
I
˜
G
spec (f 1 , f 2 ) −
G = ˜
G
SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = SI
˜
G
spec (f 1 , f 2 ).
Ce que dit la proposition est que le côté gauche est stable et s’écrit sous la
forme (1) pour des bons choix. On montre d’abord que le côté gauche de l’égalité
est une intégrale sur iA
∗
˜
G,F
d’une somme comme dans (1) mais où φ et φ
parcourt une base de l’ensemble des représentations tempérées et pas seulement des
représentations stables. Pour cela, on transfère terme à terme les éléments de la
somme sur G
(cf. le théorème du paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2 dans le cas archimédien) ; un caractère χ
pour A G (F ) se transfère en un caractère χ 1 de A ˜
G (F )
par l’application naturelle du deuxième groupe dans le premier. On tensorise par
un élément de iA
∗
˜
G,F
pour le ramener en l’un des représentants fixés, χ. On fait
la somme sur toutes les données et tous les caractères et on obtient l’assertion
(sans la stabilité). On montre maintenant que les sommes que l’on intégre pour χ
fixé sont des distributions stables ; c’est ici qu’il faut commencer par faire agir le
sous-groupe de iA
∗
˜
G,F
qui agit trivialement. Ce sous-groupe est fini et après cette
opération l’intégrale porte sur le quotient de iA
∗
˜
G,F
par ce sous-groupe.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
La remarque entraîne le lemme. En effet si π comme dans la remarque a pour
restriction à A ˜
G (F ) le caractère χ, σ M a la même propriété. La représentation σ M
a pour restriction à A ˜
M (F ) la restriction du caractère central d’une représentation
d’un sous-groupe de Levi de G invariant sous un élément régulier du groupe de
Weyl de ce sous-groupe de Levi. Par définition de la régularité cela ne laisse qu’un
nombre fini de possibilités.
Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales
On revient à la situation de X.3.3 On suppose défini par récurrence le côté spectral
stable pour les groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G propres, noté SI
G
spec , de la
forme :
SI
G
spec (f
1 , f
2 ) =
χ
φ,φ ∈B G
χ
iA ∗
G ,F
dλb
G
(φ, φ
)tr φ λ (f
1 )tr φ
λ (f
2 )
avec un ensemble de nombres complexes b
G
(φ, φ
) centralement fini.
Il faut remarquer que le sous-groupe de iA
∗
G ,F formé des caractères dont la
restriction à A G (F ) est trivial opère sur l’ensemble des représentations stables
ayant un caractère sur A G (F ) fixé. Comme on intégre sur iA
∗
G ,F , on demande
aussi à
φ,φ b
G
(φ, φ
)φ ⊗ φ
d’être invariant sous cette action.
Proposition. Il existe un système de coefficients centralement fini b(φ, φ
) associé
au triplet χ, φ, φ
comme ci-dessus tel que en notant SI
˜
G
spec la distribution obtenue
en intégrant (1) sur iA
∗
˜
G,F
, on ait pour toute paire de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G
I
˜
G
spec (f 1 , f 2 ) −
G = ˜
G
SI
G
spec (f
G
1 , f
G
2 ) = SI
˜
G
spec (f 1 , f 2 ).
Ce que dit la proposition est que le côté gauche est stable et s’écrit sous la
forme (1) pour des bons choix. On montre d’abord que le côté gauche de l’égalité
est une intégrale sur iA
∗
˜
G,F
d’une somme comme dans (1) mais où φ et φ
parcourt une base de l’ensemble des représentations tempérées et pas seulement des
représentations stables. Pour cela, on transfère terme à terme les éléments de la
somme sur G
(cf. le théorème du paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2 dans le cas archimédien) ; un caractère χ
pour A G (F ) se transfère en un caractère χ 1 de A ˜
G (F )
par l’application naturelle du deuxième groupe dans le premier. On tensorise par
un élément de iA
∗
˜
G,F
pour le ramener en l’un des représentants fixés, χ. On fait
la somme sur toutes les données et tous les caractères et on obtient l’assertion
(sans la stabilité). On montre maintenant que les sommes que l’on intégre pour χ
fixé sont des distributions stables ; c’est ici qu’il faut commencer par faire agir le
sous-groupe de iA
∗
˜
G,F
qui agit trivialement. Ce sous-groupe est fini et après cette
opération l’intégrale porte sur le quotient de iA
∗
˜
G,F
par ce sous-groupe.