X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
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invariant sous ce K-type et qui soient un sous-module d’une combinaison linéaire
d’induites de représentations elliptiques à partir de données ˜
M, σ où en notant χ σ
le caractère de σ restreint à A ˜
M (F ), les couples ( ˜
M , χ σ ) soient dans l’ensemble
fixé.
Cette propriété de finitude est une généralisation simple d’un résultat analogue pour les séries discrètes dû à Harish-Chandra : en effet le résultat d’HarishChandra se généralise aux représentations elliptiques (cf. [62] paragraphe 6) et
donc aux sous-modules des induites comme dans l’énoncé.
On fixe χ et on considère un ensemble de nombres complexes b φ,φ indexés par
les couples φ, φ
d’éléments de B χ ; on dit qu’un tel système est centralement fini si
il existe un nombre fini de couples ˜
M, χ M tel que b(φ, φ
) = 0 sauf éventuellement
si φ et φ
ont une composante sous-quotient d’une induite d’une représentation
elliptique de l’un des ˜
M avec comme restriction à A ˜
M (F ) le caractère χ M .
Il résulte de la remarque que, pour un tel ensemble de nombres complexes,
et pour toute paire de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G, la somme
χ
φ,φ ∈Bχ
b(φ, φ
) tr φ(f 1 )tr φ (f 2 )
( 1 )
est finie. Elle définit alors une distribution stable.
Quelques propriétés de finitude
Le lecteur est en droit de se demander pourquoi ces définitions techniques. C’est
à cause de problème de définition du côté spectral de la formule des traces locales,
on ne veut que des sommes finies et c’est justifié par le lemme suivant :
Lemme. Soit χ un élément de iA
∗
˜
G,F
. Alors il existe un ensemble fini de couples
( ˜
M , χ M ) comme ci-dessus tel que toute représentation discrète de ˜
G, dont le caractère se restreint en le caractère χ de A ˜
G (F ), soit sous-module d’une combinaison
linéaire d’induites de représentations elliptiques des sous-groupes de Levi ˜
M en
n’autorisant que l’un des caractères χ M en restriction à A ˜
M (F ).
La démonstration repose sur la remarque suivante :
Remarque. Soit π une représentation discrète associée à un triplet discret comme
dans [81] 2.11. Alors il existe un unique couple ( ˜
M , σ M ) (unique à conjugaison
près sous G) formé d’un espace de Levi ˜
M de ˜
G et d’une représentation elliptique
σ M de ˜
M tel que π soit l’induite de σ M .
On prend ˜
M minimal contenant le triplet définissant π. Comme expliqué en
[81] 2.11, ce triplet pour ˜
M correspond à une représentation elliptique σ M de ˜
M
et [81] 2.12 montre alors que π est l’induite de σ M . Et cette référence montre aussi
l’unicité à conjugaison près.
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invariant sous ce K-type et qui soient un sous-module d’une combinaison linéaire
d’induites de représentations elliptiques à partir de données ˜
M, σ où en notant χ σ
le caractère de σ restreint à A ˜
M (F ), les couples ( ˜
M , χ σ ) soient dans l’ensemble
fixé.
Cette propriété de finitude est une généralisation simple d’un résultat analogue pour les séries discrètes dû à Harish-Chandra : en effet le résultat d’HarishChandra se généralise aux représentations elliptiques (cf. [62] paragraphe 6) et
donc aux sous-modules des induites comme dans l’énoncé.
On fixe χ et on considère un ensemble de nombres complexes b φ,φ indexés par
les couples φ, φ
d’éléments de B χ ; on dit qu’un tel système est centralement fini si
il existe un nombre fini de couples ˜
M, χ M tel que b(φ, φ
) = 0 sauf éventuellement
si φ et φ
ont une composante sous-quotient d’une induite d’une représentation
elliptique de l’un des ˜
M avec comme restriction à A ˜
M (F ) le caractère χ M .
Il résulte de la remarque que, pour un tel ensemble de nombres complexes,
et pour toute paire de fonctions f 1 , f 2 sur ˜
G, la somme
χ
φ,φ ∈Bχ
b(φ, φ
) tr φ(f 1 )tr φ (f 2 )
( 1 )
est finie. Elle définit alors une distribution stable.
Quelques propriétés de finitude
Le lecteur est en droit de se demander pourquoi ces définitions techniques. C’est
à cause de problème de définition du côté spectral de la formule des traces locales,
on ne veut que des sommes finies et c’est justifié par le lemme suivant :
Lemme. Soit χ un élément de iA
∗
˜
G,F
. Alors il existe un ensemble fini de couples
( ˜
M , χ M ) comme ci-dessus tel que toute représentation discrète de ˜
G, dont le caractère se restreint en le caractère χ de A ˜
G (F ), soit sous-module d’une combinaison
linéaire d’induites de représentations elliptiques des sous-groupes de Levi ˜
M en
n’autorisant que l’un des caractères χ M en restriction à A ˜
M (F ).
La démonstration repose sur la remarque suivante :
Remarque. Soit π une représentation discrète associée à un triplet discret comme
dans [81] 2.11. Alors il existe un unique couple ( ˜
M , σ M ) (unique à conjugaison
près sous G) formé d’un espace de Levi ˜
M de ˜
G et d’une représentation elliptique
σ M de ˜
M tel que π soit l’induite de σ M .
On prend ˜
M minimal contenant le triplet définissant π. Comme expliqué en
[81] 2.11, ce triplet pour ˜
M correspond à une représentation elliptique σ M de ˜
M
et [81] 2.12 montre alors que π est l’induite de σ M . Et cette référence montre aussi
l’unicité à conjugaison près.