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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Une remarque sur les mesures
Le côté spectral de la formule des traces locale pour ˜
G fait intervenir des intégrales
sur les espaces iA
∗
˜
G,F
de ω-représentations de ˜
G. Tous les termes ont un coefficient qui tient compte du stabilisateur de la représentation sous iA
∗
˜
G,F
ce groupe
agissant par tensorisation.
Dans le cas des corps p-adiques, on peut donc modifier l’espace d’intégration
en intégrant sur iA
∗
˜
M
/L
où L
est un sous-réseau inclus dans le réseau L décrit
ci-dessus. Cela modifiera le coefficient calculant le stabilisateur et ne modifiera pas
l’intégrale.
C’est une remarque à faire car on va comparer le côté spectral de la formule
des traces pour ˜
G à celle de ses données endoscopiques elliptiques ; notant G
une
telle donnée. L’éllipticité assure que A ˜
G = A G mais n’assure évidemment pas que
iA ˜
G,F soit égal à son analogue pour G
, iA G ,F si le corps de base est p-adique.Et
la remarque précédente montre que l’on peut quand même intégrer sur le même
espace pour ˜
G et pour ses données endoscopiques elliptiques à condition de prendre
les stabilisateurs dans l’espace sur lequel on intégre.
Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales, préliminaires
Ici on suppose que ˜
G est un bi-torseur sous un groupe G quasi-déployé, qu’il est
à torsion intérieure et que ω est trivial. Il faut définir SI
˜
G
spec . Par tensorisation
iA
∗
˜
G,F
opère dans l’ensemble des caractères unitaires de A ˜
G (F ) et on fixe un
ensemble, X , de représentants pour ces orbites. Pour chacun de ces caractères, χ,
on fixe une base des représentations tempérées et stables de ˜
G se transformant
sous A ˜
G (F ) par ce caractère χ et on note B χ cette base. On impose en plus à
cette base d’avoir la propriété d’orthogonalité suivante : on considère le produit
scalaire elliptique défini pour les représentations elliptiques. On commence d’abord
par choisir une base des représentations elliptiques stables orthogonale pour ce
produit scalaire, ceci est possible grâce à [I] 4.17 qui montre la compatibilité de
ce produit scalaire avec le transfert des fonctions cuspidales. Ensuite on utilise
le fait que la décomposition d’une représentation tempérée stable en induites de
représentations elliptiques (modulo le centre) ne fait intervenir que des induites de
représentations elliptiques stables. En tensorisant par des éléments de iA
∗
˜
G,F
on
obtient alors une base pour les représentations elliptiques stables sans hypothèse
sur le caractère de A ˜
G (F ). On fait la même construction pour les espaces de Levi
de ˜
G et en induisant on a ainsi une base des représentations tempérées stables
grâce aux propriétés des décompositions des représentations tempérées stables
en combinaison linéaires d’induites de représentations elliptiques nécessairement
stables (cf. le paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2).
Remarque. Fixons un ensemble fini de couples ( ˜
M , χ M ) formés d’un espace de
Levi de ˜
G et d’un élément de iA
∗
˜
M,F
. Fixons aussi un K-type. Alors il n’existe
qu’un nombre fini de représentations tempérées irréductibles admettant un vecteur
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Une remarque sur les mesures
Le côté spectral de la formule des traces locale pour ˜
G fait intervenir des intégrales
sur les espaces iA
∗
˜
G,F
de ω-représentations de ˜
G. Tous les termes ont un coefficient qui tient compte du stabilisateur de la représentation sous iA
∗
˜
G,F
ce groupe
agissant par tensorisation.
Dans le cas des corps p-adiques, on peut donc modifier l’espace d’intégration
en intégrant sur iA
∗
˜
M
/L
où L
est un sous-réseau inclus dans le réseau L décrit
ci-dessus. Cela modifiera le coefficient calculant le stabilisateur et ne modifiera pas
l’intégrale.
C’est une remarque à faire car on va comparer le côté spectral de la formule
des traces pour ˜
G à celle de ses données endoscopiques elliptiques ; notant G
une
telle donnée. L’éllipticité assure que A ˜
G = A G mais n’assure évidemment pas que
iA ˜
G,F soit égal à son analogue pour G
, iA G ,F si le corps de base est p-adique.Et
la remarque précédente montre que l’on peut quand même intégrer sur le même
espace pour ˜
G et pour ses données endoscopiques elliptiques à condition de prendre
les stabilisateurs dans l’espace sur lequel on intégre.
Définition du côté spectral stable de la formule des traces locales, préliminaires
Ici on suppose que ˜
G est un bi-torseur sous un groupe G quasi-déployé, qu’il est
à torsion intérieure et que ω est trivial. Il faut définir SI
˜
G
spec . Par tensorisation
iA
∗
˜
G,F
opère dans l’ensemble des caractères unitaires de A ˜
G (F ) et on fixe un
ensemble, X , de représentants pour ces orbites. Pour chacun de ces caractères, χ,
on fixe une base des représentations tempérées et stables de ˜
G se transformant
sous A ˜
G (F ) par ce caractère χ et on note B χ cette base. On impose en plus à
cette base d’avoir la propriété d’orthogonalité suivante : on considère le produit
scalaire elliptique défini pour les représentations elliptiques. On commence d’abord
par choisir une base des représentations elliptiques stables orthogonale pour ce
produit scalaire, ceci est possible grâce à [I] 4.17 qui montre la compatibilité de
ce produit scalaire avec le transfert des fonctions cuspidales. Ensuite on utilise
le fait que la décomposition d’une représentation tempérée stable en induites de
représentations elliptiques (modulo le centre) ne fait intervenir que des induites de
représentations elliptiques stables. En tensorisant par des éléments de iA
∗
˜
G,F
on
obtient alors une base pour les représentations elliptiques stables sans hypothèse
sur le caractère de A ˜
G (F ). On fait la même construction pour les espaces de Levi
de ˜
G et en induisant on a ainsi une base des représentations tempérées stables
grâce aux propriétés des décompositions des représentations tempérées stables
en combinaison linéaires d’induites de représentations elliptiques nécessairement
stables (cf. le paragraphe 3 de [XI] et [IV] 3.2).
Remarque. Fixons un ensemble fini de couples ( ˜
M , χ M ) formés d’un espace de
Levi de ˜
G et d’un élément de iA
∗
˜
M,F
. Fixons aussi un K-type. Alors il n’existe
qu’un nombre fini de représentations tempérées irréductibles admettant un vecteur