X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1155
X.3.3 Le côté spectral de la formule des traces locales
et sa stabilisation
Rappel des notations
On note Rat(G(F )) le groupe des caractères rationnels Hom alg (G(F ), F
∗ ) ; c’est
un Z-module et on pose A
∗
G,C := Rat(G(F )) ⊗ Z C. On a ainsi défini un espace
vectoriel avec une structure réelle ; ˜
G(F ) opère sur cet espace vectoriel de façon
semi-simple et on note A
∗
˜
G,C
le sous-espace vectoriel des éléments invariants pour
cette action ; ce sous-espace vectoriel a aussi une structure réelle et il existe une
application injective, ˜
G(F ) invariante de A
∗
˜
G,C
dans A
∗
G,C . Les éléments de A
∗
G,C
s’identifient à des caractères continus à valeurs dans C
∗ de G(F ) par l’application
∀g ∈ G(F ), (χ ⊗ c)(g) = |χ(g)|
c .
On notera iA
∗
˜
G
la partie imaginaire de A
∗
˜
G,C
, c’est-à-dire Rat(G(F )) ⊗ Z iR.
Par les définitions ci-dessus, on a une application (c’est l’application usuelle)
H G de G(F ) dans l’espace vectoriel dual de A
∗
G et qui, par projection donne une
application H ˜
G dans l’espace vectoriel dual de A
∗
˜
G
; on note A G et A ˜
G les espaces
vectoriels duaux. On note L l’ensemble des éléments de A
∗
˜
G,C
qui envoient dans
2πiZ l’image de H ˜
G dans A ˜
G ; L est trivial si F est un corps archimédien et est
un réseau de iA
∗
˜
G
si F est p-adique. Dans la suite, on note iA
∗
˜
G,F
le quotient de
iA
∗
˜
G
par ce réseau (trivial si F est un corps archimédien).
On veut faire opérer A
∗
˜
G,C
sur toute ω-représentation de ˜
G ; on ne peut pas le
faire canoniquement mais dès que l’on fixe ˜
g 0 ∈ ˜
G(F ), on pose pour tout élément
g˜ g 0 ∈ ˜
G(F ), H ˜
G (g˜ g 0 ) = H ˜
G (g) et en composant avec H ˜
G , tout élément de A
∗
˜
G,C
s’identifie en une fonction sur ˜
G(F ). La mutiplication d’une ω-représentation par
une telle fonction est encore une ω-représentation.
On a ainsi défini une action de iA
∗
˜
G,F
sur l’ensemble des ω-représentations.
On généralise toutes ces notations aux sous-espaces de Levi, ˜
M de ˜
G en
remplaçant l’indice G par un indice M .
La partie spectrale de la formule des traces locales est écrite en [81] 3.25, 3.26
et 6.6, pour toute fonction f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) =
τ
iA ∗
˜
G,F
dλι(τ )| Stab W G ×iA ∗
˜
G,F
(τ )|
−1 τ λ (f 1 )τ λ (f 2 ),
où τ parcourt un système de représentants de l’action de iA
∗
˜
G
agissant par tensorisation sur l’ensemble des ω-représentations discrètes de ˜
G ; ι(τ ) est défini en
[81] à la fin de 2.11 et le stabilisateur à la fin de [81] 2.9 et leurs valeurs explicites
n’ont guère d’importance pour nous ici.
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X.3.3 Le côté spectral de la formule des traces locales
et sa stabilisation
Rappel des notations
On note Rat(G(F )) le groupe des caractères rationnels Hom alg (G(F ), F
∗ ) ; c’est
un Z-module et on pose A
∗
G,C := Rat(G(F )) ⊗ Z C. On a ainsi défini un espace
vectoriel avec une structure réelle ; ˜
G(F ) opère sur cet espace vectoriel de façon
semi-simple et on note A
∗
˜
G,C
le sous-espace vectoriel des éléments invariants pour
cette action ; ce sous-espace vectoriel a aussi une structure réelle et il existe une
application injective, ˜
G(F ) invariante de A
∗
˜
G,C
dans A
∗
G,C . Les éléments de A
∗
G,C
s’identifient à des caractères continus à valeurs dans C
∗ de G(F ) par l’application
∀g ∈ G(F ), (χ ⊗ c)(g) = |χ(g)|
c .
On notera iA
∗
˜
G
la partie imaginaire de A
∗
˜
G,C
, c’est-à-dire Rat(G(F )) ⊗ Z iR.
Par les définitions ci-dessus, on a une application (c’est l’application usuelle)
H G de G(F ) dans l’espace vectoriel dual de A
∗
G et qui, par projection donne une
application H ˜
G dans l’espace vectoriel dual de A
∗
˜
G
; on note A G et A ˜
G les espaces
vectoriels duaux. On note L l’ensemble des éléments de A
∗
˜
G,C
qui envoient dans
2πiZ l’image de H ˜
G dans A ˜
G ; L est trivial si F est un corps archimédien et est
un réseau de iA
∗
˜
G
si F est p-adique. Dans la suite, on note iA
∗
˜
G,F
le quotient de
iA
∗
˜
G
par ce réseau (trivial si F est un corps archimédien).
On veut faire opérer A
∗
˜
G,C
sur toute ω-représentation de ˜
G ; on ne peut pas le
faire canoniquement mais dès que l’on fixe ˜
g 0 ∈ ˜
G(F ), on pose pour tout élément
g˜ g 0 ∈ ˜
G(F ), H ˜
G (g˜ g 0 ) = H ˜
G (g) et en composant avec H ˜
G , tout élément de A
∗
˜
G,C
s’identifie en une fonction sur ˜
G(F ). La mutiplication d’une ω-représentation par
une telle fonction est encore une ω-représentation.
On a ainsi défini une action de iA
∗
˜
G,F
sur l’ensemble des ω-représentations.
On généralise toutes ces notations aux sous-espaces de Levi, ˜
M de ˜
G en
remplaçant l’indice G par un indice M .
La partie spectrale de la formule des traces locales est écrite en [81] 3.25, 3.26
et 6.6, pour toute fonction f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G)
I
˜
G
spec (ω, f 1 , f 2 ) =
τ
iA ∗
˜
G,F
dλι(τ )| Stab W G ×iA ∗
˜
G,F
(τ )|
−1 τ λ (f 1 )τ λ (f 2 ),
où τ parcourt un système de représentants de l’action de iA
∗
˜
G
agissant par tensorisation sur l’ensemble des ω-représentations discrètes de ˜
G ; ι(τ ) est défini en
[81] à la fin de 2.11 et le stabilisateur à la fin de [81] 2.9 et leurs valeurs explicites
n’ont guère d’importance pour nous ici.