1154
Chapitre X. Stabilisation spectrale
C’est simplement la formule d’inversion des facteurs de transfert.
Corollaire. Avec les notations précédentes et γ
parcourant le même ensemble que
ci-dessus,
γ
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 ) −
(M ,δ)∈X E (γ)
d(θ)
−1 x(γ)
2 I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 )
=
˜
L1, ˜
L2
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
γ
I
˜
L1
˜
M
(γ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2
˜
M
(γ, f 2, ˜
L2 ) − I
˜
L1,E
˜
M
(γ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2,E
˜
M
(γ, f 2, ˜
L2 )
,
où la somme porte sur les couples d’espaces de Levi de ˜
G contenant ˜
M .
Chacun des termes de la première égalité vérifie une formule de scindage (cf
X.3.1 (S) 1 et (S) 3 ). Pour I
˜
G
˜
M
, on scinde en sommant sur les couples d’espaces de
Levi contenant ˜
M comme dans l’énoncé. Pour I
˜
G,E
M , il s’agit des couples de Levi
L
1 , L
2 contenant M
et inclus dans un groupe endoscopique elliptique G
de ˜
G.
Dans ce dernier cas, on note évidemment ˜
L 1 , ˜
L 2 les espaces de Levi de ˜
G ; ainsi,
pour i = 1, 2, L
i et M
définissent une donnée endoscopique elliptique pour ˜
L i .
Et il résulte alors de la définition même donnée en [X] 3.1 que d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) =
d
G
M (L
1 , L
2 ). Le corollaire résulte alors de la remarque précédente.
Réduction pour la stabilisation géométrique
Hypothèse de récurrence locale géométrique : on suppose que l’on connaît l’égalité
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
L,E
˜
M
(γ, f ) pour tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G et pour tout
espace de Levi propre ˜
L de ˜
G contenant ˜
M .
On remarque que l’on a de toute façon cette égalité si ˜
M = ˜
L = ˜
G ce qui
permet de commencer la récurrence quand ˜
L n’a pas de Levi propre.
Proposition. Avec les hypothèses faites, pour toute paire de fonctions f i pour i =
1, 2 sur ˜
G, on a l’égalité
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
1 , f
G
2 )
=
˜
M
w( ˜
M )
−1 (−1)
a ˜
M, ˜
G
˜
M ell /∼
i
(γ)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 )
I
˜
M (γ, ω, f 2, ˜
M )
+ I
˜
M (γ, ω, f 1, ˜
M )
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 2 )
C’est un corollaire des paragraphes précédents.
Chapitre X. Stabilisation spectrale
C’est simplement la formule d’inversion des facteurs de transfert.
Corollaire. Avec les notations précédentes et γ
parcourant le même ensemble que
ci-dessus,
γ
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 ) −
(M ,δ)∈X E (γ)
d(θ)
−1 x(γ)
2 I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 )
=
˜
L1, ˜
L2
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )
γ
I
˜
L1
˜
M
(γ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2
˜
M
(γ, f 2, ˜
L2 ) − I
˜
L1,E
˜
M
(γ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2,E
˜
M
(γ, f 2, ˜
L2 )
,
où la somme porte sur les couples d’espaces de Levi de ˜
G contenant ˜
M .
Chacun des termes de la première égalité vérifie une formule de scindage (cf
X.3.1 (S) 1 et (S) 3 ). Pour I
˜
G
˜
M
, on scinde en sommant sur les couples d’espaces de
Levi contenant ˜
M comme dans l’énoncé. Pour I
˜
G,E
M , il s’agit des couples de Levi
L
1 , L
2 contenant M
et inclus dans un groupe endoscopique elliptique G
de ˜
G.
Dans ce dernier cas, on note évidemment ˜
L 1 , ˜
L 2 les espaces de Levi de ˜
G ; ainsi,
pour i = 1, 2, L
i et M
définissent une donnée endoscopique elliptique pour ˜
L i .
Et il résulte alors de la définition même donnée en [X] 3.1 que d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) =
d
G
M (L
1 , L
2 ). Le corollaire résulte alors de la remarque précédente.
Réduction pour la stabilisation géométrique
Hypothèse de récurrence locale géométrique : on suppose que l’on connaît l’égalité
I
˜
L
˜
M
(γ, ω, f ) = I
˜
L,E
˜
M
(γ, f ) pour tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G et pour tout
espace de Levi propre ˜
L de ˜
G contenant ˜
M .
On remarque que l’on a de toute façon cette égalité si ˜
M = ˜
L = ˜
G ce qui
permet de commencer la récurrence quand ˜
L n’a pas de Levi propre.
Proposition. Avec les hypothèses faites, pour toute paire de fonctions f i pour i =
1, 2 sur ˜
G, on a l’égalité
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
1 , f
G
2 )
=
˜
M
w( ˜
M )
−1 (−1)
a ˜
M, ˜
G
˜
M ell /∼
i
(γ)
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 1 )
I
˜
M (γ, ω, f 2, ˜
M )
+ I
˜
M (γ, ω, f 1, ˜
M )
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 2 ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f 2 )
C’est un corollaire des paragraphes précédents.