X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1153
classes de conjugaison stable d’éléments elliptiques de M
avec un représentant
noté δ
, chaque terme étant affecté du produit du coefficient général i( ˜
M, M
)
avec k(δ
)
−1 mes(A M (F )\M
δ (F )) où k(δ
) est le nombre de classes de conjugaison sous M
(F ) à l’intérieur de la classe de conjugaison stable de δ
(dans le cas
où le corps de base est archimédien, c’est la classe dans le K-groupe qui intervient
évidemment). On reprend les calculs de [I] preuve de la proposition 4.16 ; on fixe
γ un élément elliptique de ˜
M , ou plutôt sa classe de conjugaison sous M (F ). On
peut récrire le deuxième terme en faisant une somme sur les classes de conjugaison
stable d’éléments elliptiques de ˜
M comme
(1)
(M ,δ)∈X E (γ)
i( ˜
M, M
)| Out(M
)|k(δ)
−1
mes(A M (F )\M
δ (F ))I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 ),
ce qui ressemble à [I] 4.17 (4). On peut simplifier les coefficients car il est démontré
en [I] 4.17 (5), pour (M
, δ) ∈ X
E (γ), l’égalité :
i( ˜
M , M
) = d(θ)
−1
| Out(M
)|
−1 k(δ) mes(A M (F )\M
δ (F ))
−1 k(γ)
−1
mes(A ˜
M (F )\ Cent M (γ, F )).
Ainsi (1) devient
(M ,δ)∈X E (γ)
d(θ)
−1 k(γ)x(γ)
−1 i
(γ)I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 ).
Cela montre l’énoncé puisque dans l’énoncé on somme sur les classes de conjugaison
et non comme ci-dessus sur les classes de conjugaison stable (d’où la disparition
du k(γ))
On peut encore simplifier l’énoncé du lemme précédent ; on fixe ˜
M et γ
une classe de conjugaison d’élément elliptique de ˜
M ; on reprend les notations
précédentes en particulier x(γ). On pose
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) := d(θ)
−1/2 x(γ)
(M ,δ)∈X E (γ)
Δ(δ, γ)
−1 I
˜
G,E
M (δ, f ).
On généralise la définition à ˜
G remplacé par un de ses sous-espaces de Levi contenant ˜
M . Pour i = 1, 2 fixons des espaces de Levi ˜
L i contenant ˜
M . Alors on a :
Remarque.
d(θ)
−1 x(γ)
(M ,δ)∈X E (γ)
I
˜
L1
M (δ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2
M (δ, f 2, ˜
L2 )
=
γ
I
˜
L1,E
˜
M
(γ , f 1, ˜
L1 )I
˜
L2,E
˜
M
(γ
, f 2, ˜
L2 ),
où la somme porte sur les classes de conjugaison γ
stablement conjuguées de γ.
1153
classes de conjugaison stable d’éléments elliptiques de M
avec un représentant
noté δ
, chaque terme étant affecté du produit du coefficient général i( ˜
M, M
)
avec k(δ
)
−1 mes(A M (F )\M
δ (F )) où k(δ
) est le nombre de classes de conjugaison sous M
(F ) à l’intérieur de la classe de conjugaison stable de δ
(dans le cas
où le corps de base est archimédien, c’est la classe dans le K-groupe qui intervient
évidemment). On reprend les calculs de [I] preuve de la proposition 4.16 ; on fixe
γ un élément elliptique de ˜
M , ou plutôt sa classe de conjugaison sous M (F ). On
peut récrire le deuxième terme en faisant une somme sur les classes de conjugaison
stable d’éléments elliptiques de ˜
M comme
(1)
(M ,δ)∈X E (γ)
i( ˜
M, M
)| Out(M
)|k(δ)
−1
mes(A M (F )\M
δ (F ))I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 ),
ce qui ressemble à [I] 4.17 (4). On peut simplifier les coefficients car il est démontré
en [I] 4.17 (5), pour (M
, δ) ∈ X
E (γ), l’égalité :
i( ˜
M , M
) = d(θ)
−1
| Out(M
)|
−1 k(δ) mes(A M (F )\M
δ (F ))
−1 k(γ)
−1
mes(A ˜
M (F )\ Cent M (γ, F )).
Ainsi (1) devient
(M ,δ)∈X E (γ)
d(θ)
−1 k(γ)x(γ)
−1 i
(γ)I
˜
G,E
M (δ, f 1 , f 2 ).
Cela montre l’énoncé puisque dans l’énoncé on somme sur les classes de conjugaison
et non comme ci-dessus sur les classes de conjugaison stable (d’où la disparition
du k(γ))
On peut encore simplifier l’énoncé du lemme précédent ; on fixe ˜
M et γ
une classe de conjugaison d’élément elliptique de ˜
M ; on reprend les notations
précédentes en particulier x(γ). On pose
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) := d(θ)
−1/2 x(γ)
(M ,δ)∈X E (γ)
Δ(δ, γ)
−1 I
˜
G,E
M (δ, f ).
On généralise la définition à ˜
G remplacé par un de ses sous-espaces de Levi contenant ˜
M . Pour i = 1, 2 fixons des espaces de Levi ˜
L i contenant ˜
M . Alors on a :
Remarque.
d(θ)
−1 x(γ)
(M ,δ)∈X E (γ)
I
˜
L1
M (δ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2
M (δ, f 2, ˜
L2 )
=
γ
I
˜
L1,E
˜
M
(γ , f 1, ˜
L1 )I
˜
L2,E
˜
M
(γ
, f 2, ˜
L2 ),
où la somme porte sur les classes de conjugaison γ
stablement conjuguées de γ.