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Chapitre X. Stabilisation spectrale
a expliqué avant l’énoncé. Et la deuxième partie est purement combinatoire : on
utilise [VI] 6.3 pour échanger la somme sur les données endoscopiques elliptiques
pour ˜
G et celles sur d’abord les espaces de Levi ˜
M puis les données endoscopiques
elliptiques de ˜
M ; les constantes i( ˜
G, G
) n’y étaient pas les mêmes mais le quotient
i( ˜
G, G
)/i( ˜
M , M
) est bien le même (les Ker
1 qui sont les objets globaux ne jouent
pas de rôle dans cette combinatoire).
X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces
locales et stabilisation des intégrales orbitales pondérées
On note d(θ) le déterminant défini précisément dans ce qui précède le théorème
de [I] 2.4 et qui si θ stabilise un épinglage est la valeur absolue du déterminant de
1 − θ dans t/t
θ (où T est le tore de l’épinglage). Cette constante va redisparaître
aussi vite qu’elle est intervenue.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et γ ∈ ˜
M ; on a déjà défini i
(γ). On note
X (γ) l’ensemble des classes de conjugaison sous M (F ) à l’intérieur de la classe
de conjugaison stable de γ et on voit cet ensemble comme un ensemble fini de
cardinal k(γ). On note X
E (γ) l’ensemble des couples (M
, δ
) où M
est une donnée
endoscopique elliptique relevante de ˜
M et où δ
est une classe de conjugaison stable
de M
qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ ; on prend ces couples
à conjugaison près, c’est-à-dire que le groupe des automorphismes stabilisant M
agit sur la classe de δ
et c’est le quotient Out(M
) qui agit et il agit librement.
Pour γ un élément elliptique de ˜
M , on pose :
x(γ) := | Cent M (γ, F )/ Cent
0
M (γ, F )|k(γ)
−1 .
Lemme. Le terme (3) dans la proposition de X.3.1 est la somme sur les espaces
de Levi ˜
M semi-standard du produit de w( ˜
M ) par l’intégrale sur les classes de
conjugaison d’éléments elliptiques de ˜
M , dont un représentant est noté γ de la
fonction
i
(γ)
I
˜
G
˜
M
(γ, f 1 , f 2 ) − d(θ)
−1 x(γ)
2
(M ,δ )∈X E (γ)
I
˜
G,E
M (δ
, f 1 , f 2 )
.
Le deuxième membre de l’égalité (3) de la section X.3.1 est une intégrale sur
les classes de conjugaison des éléments elliptiques dans ˜
M avec une mesure (et des
coefficients) écrits en [I] 4.17, où il faut généraliser de ˜
G à tous ses espaces de Levi ;
comme expliqué en [I] les choix de mesures sont cohérents avec ceux de [81]. Le
terme indexé par ˜
M est donc, pour I
˜
G
˜
M ,geo
(ω, f 1 , f 2 ) une intégrale sur les classes
de conjugaison elliptiques de ˜
M , représentées par un élément noté γ de l’intégrale
orbitale pondérée I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 ) affectée du coefficient i
(γ).
Le deuxième terme intervenant est une somme sur M
, les groupes endoscopiques elliptiques relevants de ˜
M , pris à isomorphisme près, de l’intégrale sur les
Chapitre X. Stabilisation spectrale
a expliqué avant l’énoncé. Et la deuxième partie est purement combinatoire : on
utilise [VI] 6.3 pour échanger la somme sur les données endoscopiques elliptiques
pour ˜
G et celles sur d’abord les espaces de Levi ˜
M puis les données endoscopiques
elliptiques de ˜
M ; les constantes i( ˜
G, G
) n’y étaient pas les mêmes mais le quotient
i( ˜
G, G
)/i( ˜
M , M
) est bien le même (les Ker
1 qui sont les objets globaux ne jouent
pas de rôle dans cette combinatoire).
X.3.2 Stabilisation du côté géométrique de la formule des traces
locales et stabilisation des intégrales orbitales pondérées
On note d(θ) le déterminant défini précisément dans ce qui précède le théorème
de [I] 2.4 et qui si θ stabilise un épinglage est la valeur absolue du déterminant de
1 − θ dans t/t
θ (où T est le tore de l’épinglage). Cette constante va redisparaître
aussi vite qu’elle est intervenue.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et γ ∈ ˜
M ; on a déjà défini i
(γ). On note
X (γ) l’ensemble des classes de conjugaison sous M (F ) à l’intérieur de la classe
de conjugaison stable de γ et on voit cet ensemble comme un ensemble fini de
cardinal k(γ). On note X
E (γ) l’ensemble des couples (M
, δ
) où M
est une donnée
endoscopique elliptique relevante de ˜
M et où δ
est une classe de conjugaison stable
de M
qui se transfère en la classe de conjugaison stable de γ ; on prend ces couples
à conjugaison près, c’est-à-dire que le groupe des automorphismes stabilisant M
agit sur la classe de δ
et c’est le quotient Out(M
) qui agit et il agit librement.
Pour γ un élément elliptique de ˜
M , on pose :
x(γ) := | Cent M (γ, F )/ Cent
0
M (γ, F )|k(γ)
−1 .
Lemme. Le terme (3) dans la proposition de X.3.1 est la somme sur les espaces
de Levi ˜
M semi-standard du produit de w( ˜
M ) par l’intégrale sur les classes de
conjugaison d’éléments elliptiques de ˜
M , dont un représentant est noté γ de la
fonction
i
(γ)
I
˜
G
˜
M
(γ, f 1 , f 2 ) − d(θ)
−1 x(γ)
2
(M ,δ )∈X E (γ)
I
˜
G,E
M (δ
, f 1 , f 2 )
.
Le deuxième membre de l’égalité (3) de la section X.3.1 est une intégrale sur
les classes de conjugaison des éléments elliptiques dans ˜
M avec une mesure (et des
coefficients) écrits en [I] 4.17, où il faut généraliser de ˜
G à tous ses espaces de Levi ;
comme expliqué en [I] les choix de mesures sont cohérents avec ceux de [81]. Le
terme indexé par ˜
M est donc, pour I
˜
G
˜
M ,geo
(ω, f 1 , f 2 ) une intégrale sur les classes
de conjugaison elliptiques de ˜
M , représentées par un élément noté γ de l’intégrale
orbitale pondérée I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 ) affectée du coefficient i
(γ).
Le deuxième terme intervenant est une somme sur M
, les groupes endoscopiques elliptiques relevants de ˜
M , pris à isomorphisme près, de l’intégrale sur les