X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
1151
Pour toute paire de fonctions f i pour i = 1, 2 sur ˜
G, et pour G
, M
comme
ci-dessus, on pose :
(1)
I
˜
G,E
M ,geo (f 1 , f 2 ) = 0,
si M
n’est pas une donnée endoscopique elliptique d’un espace de Levi de ˜
G et
(2)
I
˜
G,E
M ,geo (f 1 , f 2 ) =
G
i
˜
M
( ˜
G, G
)SI
G
M ,geo (f
G
1 , f
G
2 ),
où la somme porte sur les données endoscopiques elliptiques de ˜
G contenant M
et où
i
˜
M
( ˜
G, G
) = j( ˜
G)
−1 j( ˜
M )|Z( ˆ
G
)
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
∩ Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1
|Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
M
)
ΓF
|,
avec j( ˜
G) = | det AG/A ˜
G
(1 − θ)| et j( ˜
M ) est son analogue pour ˜
M . On remarque
que (2) ne dépend que de ˆ
M et pas de l’espace ˜
M et est donc défini même si M
n’est pas relevant pour un espace de Levi de ˜
G (cf. [VI] 6.6). Mais une preuve
analogue à celle de la proposition de [VI] 6.6 montre que (2) est alors nul, ce qui
est compatible avec (1).
On donne tout de suite la formule de scindage suivante, pour M
un donnée
endoscopique elliptique de ˜
M et pour δ une classe de conjugaison stable d’éléments
elliptiques de M
(S) 3
I
˜
G,E
˜
M
(δ, f 1 , f 2 ) =
˜
Li∈L( ˜
M);i=1,2
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
˜
L1,E
˜
M
(δ, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2,E
˜
M
(δ, f 2, ˜
L2 ).
Ceci est similaire à [VI] 4.5 proposition (i), où V n’a que deux places.
Séparation suivant les espaces de Levi
Proposition. Pour toute paire de fonctions f i pour i = 1, 2 sur ˜
G, on a l’égalité
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
1 , f
G
2 )
(3)
=
˜
M
w( ˜
M )(−1)
a ˜
M, ˜
G
I
˜
G
˜
M,geo
(ω, f 1 , f 2 ) −
M
i( ˜
M, M
)I
˜
G,E
M ,geo (f 1 , f 2 )
,
où ˜
M parcourt l’ensemble des espaces de Levi de ˜
G semi-standard et où M
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques relevantes de ˜
M .
Il y a deux étapes dans cette proposition ; la première consiste à vérifier que
les sous-groupes de Levi des données endoscopiques elliptiques de ˜
G qui ne sont
pas relevants pour un sous-espace de Levi de ˜
G ne contribuent pas, c’est ce que l’on