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Chapitre X. Stabilisation spectrale
avec d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) vaut zéro si l’application naturelle A
˜
L1
˜
M
⊕ A
˜
L2
˜
M
dans A
˜
G
˜
M
n’est pas
bijective et vaut le jacobien de cette application sinon, ce qui reflète le rapport
des mesures sur ces espaces indispensables pour construire des intégrales orbitales
pondérées.
Pour le côté endoscopique, on précise ici quelques notations : on est dans une
situation locale. Pour G
une donnée endoscopique elliptique du bitorseur ˜
G et du
caractère ω, on pose
i( ˜
G, G
) := | det
AG/A ˜
G
(1 − θ)|
−1
|π 0 (Aut(G
)/ ˆ
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
))|.
C’est la notation c( ˜
G, G
) de [I] 4.17 (ce qui suit la formule (3)).
Il faut aussi définir la variante stable de la formule des traces locales pour
un tel G
. En [I] 4.17 ( formule (3)), cette formule stable est écrite pour la partie
elliptique de G
. Avec un choix de mesure complètement explicité, c’est l’intégrale
sur les points elliptiques de G
, des intégrales orbitales stables. Pour M
un Levi
de G
, on généralise la définition de façon immédiate en remplaçant l’intégrale sur
les éléments elliptiques de G
par l’intégrale sur les éléments elliptiques de M
et
en remplaçant les intégrales orbitales stables par les intégrales orbitales pondérées
stables, c’est-à-dire
SI
G
M ,geo (f
1 , f
2 ) =
˜
M (F ) ell / st-conj
k M (δ)
−1 mes(A M (F )\M
δ (F ))SI
G
M (δ, f
1 , f
2 )
où k M (δ) est le nombre de classes de conjugaison par M
(F ) contenues dans la
classe de conjugaison stable de δ (la définition doit être adaptée dans le cas F = R,
cf. loc.cit.) et où SI
G
M (δ, f
1 , f
2 ) se calcule par la formule de scindage
(S) 2
SI
G
M (δ, f
1 , f
2 )
=
L i∈L(M
);i=1,2
e
G
M (L
1 , L
2 )SI G
M (δ, f
1,L
1
)SI
G
M (δ, f
2,L
2
)
où les intégrales orbitales pondérées stables sont celles de [II] 1.10 (8) (c’est la
définition standard due à Arthur généralisée au cas tordu) et où e
G
M (L
1 , L
2 ) est
défini en [II] 1.14, ce sont les constantes ”universelles” qui interviennent dans des
formules de scindage pour des distributions stables et que l’on rappelle même si
on va utiliser (S) 3 ci-dessous au lieu de (S) 2 ;
e
G
M (L
1 , L
2 ) = d
G
M (L
1 , L
2 )|(Z( ˆ
L
1 )
ΓF
∩ Z( ˆ
L
2 )
ΓF )/Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1 .
On a aussi d
˜
G
˜
M
(L 1 , L 2 ) = d
G
M (L
1 , L
2 ) si M
est une donnée endoscopique elliptique
de ˜
M et si L
i pour i = 1, 2 est une donnée endoscopique elliptique de ˜
L i .
Chapitre X. Stabilisation spectrale
avec d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) vaut zéro si l’application naturelle A
˜
L1
˜
M
⊕ A
˜
L2
˜
M
dans A
˜
G
˜
M
n’est pas
bijective et vaut le jacobien de cette application sinon, ce qui reflète le rapport
des mesures sur ces espaces indispensables pour construire des intégrales orbitales
pondérées.
Pour le côté endoscopique, on précise ici quelques notations : on est dans une
situation locale. Pour G
une donnée endoscopique elliptique du bitorseur ˜
G et du
caractère ω, on pose
i( ˜
G, G
) := | det
AG/A ˜
G
(1 − θ)|
−1
|π 0 (Aut(G
)/ ˆ
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ Z( ˆ
G
))|.
C’est la notation c( ˜
G, G
) de [I] 4.17 (ce qui suit la formule (3)).
Il faut aussi définir la variante stable de la formule des traces locales pour
un tel G
. En [I] 4.17 ( formule (3)), cette formule stable est écrite pour la partie
elliptique de G
. Avec un choix de mesure complètement explicité, c’est l’intégrale
sur les points elliptiques de G
, des intégrales orbitales stables. Pour M
un Levi
de G
, on généralise la définition de façon immédiate en remplaçant l’intégrale sur
les éléments elliptiques de G
par l’intégrale sur les éléments elliptiques de M
et
en remplaçant les intégrales orbitales stables par les intégrales orbitales pondérées
stables, c’est-à-dire
SI
G
M ,geo (f
1 , f
2 ) =
˜
M (F ) ell / st-conj
k M (δ)
−1 mes(A M (F )\M
δ (F ))SI
G
M (δ, f
1 , f
2 )
où k M (δ) est le nombre de classes de conjugaison par M
(F ) contenues dans la
classe de conjugaison stable de δ (la définition doit être adaptée dans le cas F = R,
cf. loc.cit.) et où SI
G
M (δ, f
1 , f
2 ) se calcule par la formule de scindage
(S) 2
SI
G
M (δ, f
1 , f
2 )
=
L i∈L(M
);i=1,2
e
G
M (L
1 , L
2 )SI G
M (δ, f
1,L
1
)SI
G
M (δ, f
2,L
2
)
où les intégrales orbitales pondérées stables sont celles de [II] 1.10 (8) (c’est la
définition standard due à Arthur généralisée au cas tordu) et où e
G
M (L
1 , L
2 ) est
défini en [II] 1.14, ce sont les constantes ”universelles” qui interviennent dans des
formules de scindage pour des distributions stables et que l’on rappelle même si
on va utiliser (S) 3 ci-dessous au lieu de (S) 2 ;
e
G
M (L
1 , L
2 ) = d
G
M (L
1 , L
2 )|(Z( ˆ
L
1 )
ΓF
∩ Z( ˆ
L
2 )
ΓF )/Z( ˆ
G
)
ΓF
|
−1 .
On a aussi d
˜
G
˜
M
(L 1 , L 2 ) = d
G
M (L
1 , L
2 ) si M
est une donnée endoscopique elliptique
de ˜
M et si L
i pour i = 1, 2 est une donnée endoscopique elliptique de ˜
L i .