X.3. Stabilisation de la formule des traces locales tordues
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le signe est alors (−1)
a ˜
M , ˜
G où
a ˜
M, ˜
G := rang (A ˜
M /A ˜
G ).
Si F = R ou F = C, les fonctions sur ˜
G(F ) que l’on considérera seront toujours
supposées K-finies à droite et à gauche. Si F est un corps de nombres, les fonctions
sur ˜
G(A F ) que l’on considérera seront toujours supposées K-finies à droite et à
gauche aux places archimédiennes. On ne fait pas figurer cette condition dans la
notation pour alléger celle-ci.
X.3 Stabilisation de la formule des traces locales tordues
Dans ce paragraphe, le corps F est local. On va montrer que la stabilisation de la
formule des traces locales tordues est équivalente à la stabilisation des intégrales
orbitales pondérées tordues invariantes pour les éléments semi-simples réguliers,
modulo des hypothèses de récurrence tout à fait naturelles, précisément sur cette
stabilisation des intégrales orbitales pour des groupes «plus petits».
X.3.1 Le côté géométrique de la formule des traces locales
Rappel du côté géométrique de la formule des traces locales et de sa variante
endoscopique
En [81] 6.6, la formule des traces locale invariante est définie. Le côté géométrique
est, pour toute paire de fonctions f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G, ω) :
I
˜
G
geo (ω, f 1 , f 2 ) =
˜
M
(−1)
a ˜
M, ˜
G w( ˜
M )I
˜
G
˜
M
(ω, f 1 , f 2 ),
où w( ˜
M ) et a ˜
M, ˜
G sont définis dans le paragraphe X.2 et où
I
˜
G
˜
M
(ω, f 1 , f 2 ) =
˜
M ell /∼
i
(γ)I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 ) dγ,
où on renvoie à [81] pour la description de la mesure sur ˜
M ell / ∼, où
i
(γ) = mes(Cent
0
M (γ, F )/A ˜
M (F ))| Cent M (γ, F )/ Cent
0
M (γ, F )|
−1 ,
et
(S) 1
I
˜
G
˜
M
(γ, ω, f 1 , f 2 )
=
˜
Li∈L( ˜
M );i=1,2
d
˜
G
˜
M
( ˜
L 1 , ˜
L 2 )I
˜
L1
˜
M
(γ, ω, f 1, ˜
L1 )I
˜
L2
˜
M
(γ, ω, f 2, ˜
L2 ),