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Chapitre X. Stabilisation spectrale
elle aussi une écriture géométrique et une écriture spectrale. L’écriture spectrale
est simple, c’est essentiellement une combinaison linéaire de traces de représentations discrètes. Là aussi il faut montrer que l’écriture géométrique s’apparente à
une distribution continue au sens que c’est une intégrale pour des espaces de Levi
propres de représentations discrètes de ces Levi. On aura encore une incompatibilité entre les deux formes de la distribution qui assure sa nullité. Malheureusement
la démonstration est compliquée par le fait que les hypothèses clés de X.3.5 sont
démontrées par voie globale en X.7.7 et nécessitent donc elles aussi de jouer avec
la réduction du côté spectral. De plus dans le cas tordu, il est encore plus difficile
de globaliser une situation locale que dans le cas non tordu ; on utilise pour cela
les travaux de Kottwitz et Rogawski ([47]) qu’il faut compléter (cf X.7.6).
X.2 Notations générales
Le corps de base, toujours noté F sera parfois local (p-adique ou archimédien) et
parfois un corps de nombres. Si F = R ou si F est un corps de nombres, on doit
travailler avec des K-espaces, cf. [I] 1.11 et [VI] 1.16. Pour notre propos, cela ne
change rien. Aussi, pour simplifier, on négligera dans la notation ce passage aux
K-espaces que l’on notera comme des espaces -appelés aussi bitorseurs- connexes.
On fixe ˜
G un bitorseur sous un groupe algébrique G ; On reprend la notation ˜
M
pour les espaces de Levi de ˜
G et on note L( ˜
M ) les espaces de Levi de ˜
G qui
contiennent ˜
M ; on renvoie à [I] pour ces notations/définitions. Pour ˜
M un espace
de Levi de ˜
G, on note M le sous-groupe de Levi de G sous-jacent et on pose :
W ( ˜
M ) := Norm G(F ) ( ˜
M )/M (F ).
Tout objet invariant attaché à ˜
M sera invariant par ce groupe donc dans les
formules faisant intervenir une somme sur les espaces de Levi ˜
M pris à conjugaison
près de tels objets, cette somme sera très naturellement quotientée par |W ( ˜
M )|
−1 .
Mais, il est en fait plus simple de sommer sur les Levi semi-standard, ce qui a
l’avantage de donner des formules qui fonctionnent aussi dans certains cas où les
objets attachés à ˜
M ne sont pas invariants : c’est-à-dire on fixe un espace de
Levi ˜
M 0 minimal de ˜
G et un Levi semi-standard est un Levi qui contient ˜
M 0 .
Pour un tel espace de Levi, on note ˜
W M := Norm M(F ) ( ˜
M 0 )/M 0 (F ) et ˜
W G :=
Norm G(F ) ( ˜
M 0 )/M 0 (F ), c’est le groupe que l’on avait auparavant noté W ( ˜
M 0 ).
Dans les formules qui font intervenir des sommes d’espaces de Levi semi-standard,
le coefficient qui revient quasiment en permanence est :
w( ˜
M ) := | ˜
W M |/| ˜
W G |.
Pour tout espace de Levi ˜
M , on note A M le tore déployé maximal du centre de M
et A ˜
M le tore déployé maximal de A M inclus dans le centralisateur de ˜
M . Pour
certaines formules, on a une somme alternée sur les espaces de Levi semi-standard,
Chapitre X. Stabilisation spectrale
elle aussi une écriture géométrique et une écriture spectrale. L’écriture spectrale
est simple, c’est essentiellement une combinaison linéaire de traces de représentations discrètes. Là aussi il faut montrer que l’écriture géométrique s’apparente à
une distribution continue au sens que c’est une intégrale pour des espaces de Levi
propres de représentations discrètes de ces Levi. On aura encore une incompatibilité entre les deux formes de la distribution qui assure sa nullité. Malheureusement
la démonstration est compliquée par le fait que les hypothèses clés de X.3.5 sont
démontrées par voie globale en X.7.7 et nécessitent donc elles aussi de jouer avec
la réduction du côté spectral. De plus dans le cas tordu, il est encore plus difficile
de globaliser une situation locale que dans le cas non tordu ; on utilise pour cela
les travaux de Kottwitz et Rogawski ([47]) qu’il faut compléter (cf X.7.6).
X.2 Notations générales
Le corps de base, toujours noté F sera parfois local (p-adique ou archimédien) et
parfois un corps de nombres. Si F = R ou si F est un corps de nombres, on doit
travailler avec des K-espaces, cf. [I] 1.11 et [VI] 1.16. Pour notre propos, cela ne
change rien. Aussi, pour simplifier, on négligera dans la notation ce passage aux
K-espaces que l’on notera comme des espaces -appelés aussi bitorseurs- connexes.
On fixe ˜
G un bitorseur sous un groupe algébrique G ; On reprend la notation ˜
M
pour les espaces de Levi de ˜
G et on note L( ˜
M ) les espaces de Levi de ˜
G qui
contiennent ˜
M ; on renvoie à [I] pour ces notations/définitions. Pour ˜
M un espace
de Levi de ˜
G, on note M le sous-groupe de Levi de G sous-jacent et on pose :
W ( ˜
M ) := Norm G(F ) ( ˜
M )/M (F ).
Tout objet invariant attaché à ˜
M sera invariant par ce groupe donc dans les
formules faisant intervenir une somme sur les espaces de Levi ˜
M pris à conjugaison
près de tels objets, cette somme sera très naturellement quotientée par |W ( ˜
M )|
−1 .
Mais, il est en fait plus simple de sommer sur les Levi semi-standard, ce qui a
l’avantage de donner des formules qui fonctionnent aussi dans certains cas où les
objets attachés à ˜
M ne sont pas invariants : c’est-à-dire on fixe un espace de
Levi ˜
M 0 minimal de ˜
G et un Levi semi-standard est un Levi qui contient ˜
M 0 .
Pour un tel espace de Levi, on note ˜
W M := Norm M(F ) ( ˜
M 0 )/M 0 (F ) et ˜
W G :=
Norm G(F ) ( ˜
M 0 )/M 0 (F ), c’est le groupe que l’on avait auparavant noté W ( ˜
M 0 ).
Dans les formules qui font intervenir des sommes d’espaces de Levi semi-standard,
le coefficient qui revient quasiment en permanence est :
w( ˜
M ) := | ˜
W M |/| ˜
W G |.
Pour tout espace de Levi ˜
M , on note A M le tore déployé maximal du centre de M
et A ˜
M le tore déployé maximal de A M inclus dans le centralisateur de ˜
M . Pour
certaines formules, on a une somme alternée sur les espaces de Levi semi-standard,