X.1. Introduction
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Et c’est cette égalité plus fine que l’on démontre ; on vérifie qu’elle est vraie pour
toute fonction f = f V 1 ˜
K V si l’une des composantes f v a sa composante elliptique
nulle ; c’est le raffinement de l’égalité (2). Mais pour χ fixé, il existe une place v
dans V où ce caractère est trivial. Le côté gauche appliqué à f valant 1 ˜
Kv prend
la même valeur qu’en la fonction où on remplace simplement la composante 1 ˜
Kv
par la fonction
γ ∈ ˜
G(F v ) →
g
1 ˜
Kv (ad(g )γ)χ
−1
(g ),
où g parcourt un ensemble de représentants de (G/Z(G)
θ )(F v )/G(F v ) (l’image
dans I( ˜
G(F v ), ω) de cette fonction ne dépend pas de l’ensemble de représentants) ;
le côté droit ne change pas quand on remplace f v par cette nouvelle fonction. On
gagne car la nouvelle fonction a sa composante elliptique nulle. en la place v. On
connaît donc l’égalité pour cette fonction ce qui permet de conclure.
Les réductions géométriques sont les plus difficiles et ont été menées dans
les chapitres précédents. Elles ramènent le problème à deux assertions : d’une
part la stabilisation des intégrales pondérées locales invariantes pour des éléments
semi-simples réguliers et d’autre part une identification des coefficients pour les
intégrales orbitales ordinaires mais correspondant aux éléments exceptionnels au
sens de [III] 6.2 (c’est [VII] 3.3, 3.4, 3.5 qui donne les réductions).
La réduction spectrale est effectuée ici et est bien plus simple (cf X.5.11) ;
on montre que par récurrence on sait stabiliser la partie continue de cette forme
spectrale de la formule des traces et donc la formule (1) s’écrit en termes de
caractères de représentations.
Admettons pour le moment le point clé, c’est-à-dire la preuve de la stabilisation locale des intégrales pondérées invariantes. Alors les réductions géométriques
montrent que (1) est nulle si en une place, v, que l’on peut choisir arbitrairement,
la fonction f est nulle près des éléments exceptionnels de ˜
G(F v ). Quand on fixe
f aux autres places et que l’on fait varier f v disons parmi les fonctions non ramifiées, alors (1) définit une distribution en f v qui est une combinaison linéaire des
intégrales orbitales en les composantes en v des éléments exceptionnels (il n’y en
a qu’un nombre fini) ; or les intégrales orbitales sont des transformées de Fourier
de caractères de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de ˜
G ([12] généralisé en [62]) et on peut supposer que ces Levi sont propres car on a supposé
f v non ramifié. En revenant à l’écriture spectrale de (1) on montre une incompatibilité entre ces deux expressions qui forcent leur nullité. Quand on fixe f , on peut
toujours trouver v tel que f v soit non ramifié et c’est ce qui fournit suffisamment
de fonctions pour lesquelles on sait stabiliser la formule des traces et permet de
conclure comme expliqué plus haut.
Il faut donc montrer la stabilisation locale géométrique ; la première partie
du chapitre relie cette stabilisation géométrique à la stabilisation de la formule des
traces locales ; la stabilisation géométrique entraîne la stabilisation de la formule
des traces locales, la réciproque est loin d’être claire mais c’est bien cela que l’on
démontre (cf. X.3.2 et X.3.5). La stabilisation de la formule des traces locales a
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Et c’est cette égalité plus fine que l’on démontre ; on vérifie qu’elle est vraie pour
toute fonction f = f V 1 ˜
K V si l’une des composantes f v a sa composante elliptique
nulle ; c’est le raffinement de l’égalité (2). Mais pour χ fixé, il existe une place v
dans V où ce caractère est trivial. Le côté gauche appliqué à f valant 1 ˜
Kv prend
la même valeur qu’en la fonction où on remplace simplement la composante 1 ˜
Kv
par la fonction
γ ∈ ˜
G(F v ) →
g
1 ˜
Kv (ad(g )γ)χ
−1
(g ),
où g parcourt un ensemble de représentants de (G/Z(G)
θ )(F v )/G(F v ) (l’image
dans I( ˜
G(F v ), ω) de cette fonction ne dépend pas de l’ensemble de représentants) ;
le côté droit ne change pas quand on remplace f v par cette nouvelle fonction. On
gagne car la nouvelle fonction a sa composante elliptique nulle. en la place v. On
connaît donc l’égalité pour cette fonction ce qui permet de conclure.
Les réductions géométriques sont les plus difficiles et ont été menées dans
les chapitres précédents. Elles ramènent le problème à deux assertions : d’une
part la stabilisation des intégrales pondérées locales invariantes pour des éléments
semi-simples réguliers et d’autre part une identification des coefficients pour les
intégrales orbitales ordinaires mais correspondant aux éléments exceptionnels au
sens de [III] 6.2 (c’est [VII] 3.3, 3.4, 3.5 qui donne les réductions).
La réduction spectrale est effectuée ici et est bien plus simple (cf X.5.11) ;
on montre que par récurrence on sait stabiliser la partie continue de cette forme
spectrale de la formule des traces et donc la formule (1) s’écrit en termes de
caractères de représentations.
Admettons pour le moment le point clé, c’est-à-dire la preuve de la stabilisation locale des intégrales pondérées invariantes. Alors les réductions géométriques
montrent que (1) est nulle si en une place, v, que l’on peut choisir arbitrairement,
la fonction f est nulle près des éléments exceptionnels de ˜
G(F v ). Quand on fixe
f aux autres places et que l’on fait varier f v disons parmi les fonctions non ramifiées, alors (1) définit une distribution en f v qui est une combinaison linéaire des
intégrales orbitales en les composantes en v des éléments exceptionnels (il n’y en
a qu’un nombre fini) ; or les intégrales orbitales sont des transformées de Fourier
de caractères de représentations elliptiques de sous-espaces de Levi de ˜
G ([12] généralisé en [62]) et on peut supposer que ces Levi sont propres car on a supposé
f v non ramifié. En revenant à l’écriture spectrale de (1) on montre une incompatibilité entre ces deux expressions qui forcent leur nullité. Quand on fixe f , on peut
toujours trouver v tel que f v soit non ramifié et c’est ce qui fournit suffisamment
de fonctions pour lesquelles on sait stabiliser la formule des traces et permet de
conclure comme expliqué plus haut.
Il faut donc montrer la stabilisation locale géométrique ; la première partie
du chapitre relie cette stabilisation géométrique à la stabilisation de la formule des
traces locales ; la stabilisation géométrique entraîne la stabilisation de la formule
des traces locales, la réciproque est loin d’être claire mais c’est bien cela que l’on
démontre (cf. X.3.2 et X.3.5). La stabilisation de la formule des traces locales a