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Chapitre X. Stabilisation spectrale
fini de places suffisamment grand (précisément V doit contenir V ram comme cidessus) et pour toute place v hors de V , on fixe un caractère de l’algèbre de Hecke
sphérique de G(F v ), c v . On note c
V le produit de ces caractères pour toutes les
places v non dans V . On note alors π
˜
G
ν [c
V ] la somme des ω représentations de ˜
G
intervenant dans la partie discrète du côté spectral de la formule des traces (on
ne voit évidemment que la trace tordue de ces représentations), qui ont ν comme
caractère infinitésimal et c
V comme action de l’algèbre de Hecke sphérique hors
de V . Alors on considère l’ensemble des fonctions f qui en une place v finie ont
une composante cuspidale nulle (au sens de la décomposition de Paley–Wiener) et
pour ces fonctions on montre le transfert :
(2)
tr π
˜
G
ν [c
V ](f ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st [c
V ](f
G
),
où G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques et non ramifiées
hors de V de ˜
G, ω et où
π
G
ν,st [c
V ] =
ν ,c V,G
π
G
ν ,st [c
V,G
]
la somme portant sur les caractères infinitésimaux ν
de G
se transférant en ν par
la fonctorialité entre algèbres de Lie et sur les caractères des algèbres de Hecke hors
de V pour G
se transférant en c
V pour la fonctorialité non ramifiée de Langlands
(il y a une inclusion de L-groupes qui fixe cette fonctorialité et les facteurs de
transfert de façon compatible) et π
G
ν ,st [c
V,G
] est l’analogue stable de π
˜
G
ν [c
V ]. En
d’autres termes on montre que le terme de gauche de (2) moins le transfert du
terme de droite est une somme discrète de ω-représentations elliptiques en toute
place de V . Comme on a toujours le droit d’ajouter à V un ensemble fini de places
V 0 et de n’appliquer la formule qu’aux fonctions non ramifiées en les places V 0 ,
on conclut facilement si les fonctions non ramifiées en une place de V 0 ont leur
composante elliptique nulle (dans la réalisation de Paley–Wiener de cet espace) ;
ceci est exactement équivalent au fait qu’il n’y ait pas de donnée endoscopique
elliptique qui soit un tore non ramifié et n’est donc pas toujours vrai. On se tire
de cet ennui en faisant agir le groupe adjoint de G ou plutôt dans le cas tordu
le groupe (G/Z(G)
θ )(A F ). Ce groupe agit du côté gauche via son action sur les
fonctions et on montre que cette action se décompose suivant un nombre fini de
caractères automorphes non ramifiés hors de V (du moins si V est suffisamment
grand). Il agit aussi du côté droit en fait sur les facteurs de transfert ; en [I] 2.7, il
est montré que chaque donnée endoscopique elliptique de ˜
G, ω donne un caractère
de (G/Z(G)
θ )(A F ) dont la restriction à l’image de G(A F ) est le caractère ω ; on
note ω
G
ce caractère. Et l’égalité (2) se raffine en une égalité, pour tout caractère
automorphe χ de (G/Z(G)
θ )(A F ) :
(3)
tr π
˜
G
ν,χ [c
V ](f ) =
G ;ω G
=χ
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st [c
V ](f
G
).
Chapitre X. Stabilisation spectrale
fini de places suffisamment grand (précisément V doit contenir V ram comme cidessus) et pour toute place v hors de V , on fixe un caractère de l’algèbre de Hecke
sphérique de G(F v ), c v . On note c
V le produit de ces caractères pour toutes les
places v non dans V . On note alors π
˜
G
ν [c
V ] la somme des ω représentations de ˜
G
intervenant dans la partie discrète du côté spectral de la formule des traces (on
ne voit évidemment que la trace tordue de ces représentations), qui ont ν comme
caractère infinitésimal et c
V comme action de l’algèbre de Hecke sphérique hors
de V . Alors on considère l’ensemble des fonctions f qui en une place v finie ont
une composante cuspidale nulle (au sens de la décomposition de Paley–Wiener) et
pour ces fonctions on montre le transfert :
(2)
tr π
˜
G
ν [c
V ](f ) =
G
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st [c
V ](f
G
),
où G
parcourt l’ensemble des données endoscopiques elliptiques et non ramifiées
hors de V de ˜
G, ω et où
π
G
ν,st [c
V ] =
ν ,c V,G
π
G
ν ,st [c
V,G
]
la somme portant sur les caractères infinitésimaux ν
de G
se transférant en ν par
la fonctorialité entre algèbres de Lie et sur les caractères des algèbres de Hecke hors
de V pour G
se transférant en c
V pour la fonctorialité non ramifiée de Langlands
(il y a une inclusion de L-groupes qui fixe cette fonctorialité et les facteurs de
transfert de façon compatible) et π
G
ν ,st [c
V,G
] est l’analogue stable de π
˜
G
ν [c
V ]. En
d’autres termes on montre que le terme de gauche de (2) moins le transfert du
terme de droite est une somme discrète de ω-représentations elliptiques en toute
place de V . Comme on a toujours le droit d’ajouter à V un ensemble fini de places
V 0 et de n’appliquer la formule qu’aux fonctions non ramifiées en les places V 0 ,
on conclut facilement si les fonctions non ramifiées en une place de V 0 ont leur
composante elliptique nulle (dans la réalisation de Paley–Wiener de cet espace) ;
ceci est exactement équivalent au fait qu’il n’y ait pas de donnée endoscopique
elliptique qui soit un tore non ramifié et n’est donc pas toujours vrai. On se tire
de cet ennui en faisant agir le groupe adjoint de G ou plutôt dans le cas tordu
le groupe (G/Z(G)
θ )(A F ). Ce groupe agit du côté gauche via son action sur les
fonctions et on montre que cette action se décompose suivant un nombre fini de
caractères automorphes non ramifiés hors de V (du moins si V est suffisamment
grand). Il agit aussi du côté droit en fait sur les facteurs de transfert ; en [I] 2.7, il
est montré que chaque donnée endoscopique elliptique de ˜
G, ω donne un caractère
de (G/Z(G)
θ )(A F ) dont la restriction à l’image de G(A F ) est le caractère ω ; on
note ω
G
ce caractère. Et l’égalité (2) se raffine en une égalité, pour tout caractère
automorphe χ de (G/Z(G)
θ )(A F ) :
(3)
tr π
˜
G
ν,χ [c
V ](f ) =
G ;ω G
=χ
i( ˜
G, G
) tr π
G
ν,st [c
V ](f
G
).