Chapitre X
Stabilisation spectrale
X.1 Introduction
Le but de ce chapitre est de finir la stabilisation de la formule des traces tordues.
La méthode est très voisine de celle de [20]. Le principe même de cette méthode due à Langlands et Arthur, est de mener de front des réductions pour
l’expression géométrique et l’expression spectrale de cette stabilisation,
(1)
I
˜
G (ω, f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
(f
G
),
où les notations sont expliquées dans le texte mais sont à peu près standard, en
fait, pour être correct, il faut fixer un ensemble fini de places V suffisamment grand
(la condition précise est que V contient l’ensemble V ram défini en [VI] 1.1) et ne
considérer que les fonctions f qui hors de V sont les fonctions caractéristiques d’un
espace compact hyperspecial ; ce n’est qu’avec ce choix de V que les distributions
(vues uniquement pour les places dans V ) sont invariantes pour le côté gauche et
stables pour le côté droit. Dans ce cas seules les données endoscopiques elliptiques
non ramifiées hors de V interviennent dans le membre de droite et il n’y a qu’un
nombre fini de telles données endoscopiques.
Très schématiquement, la réduction spectrale montre que (1) est une distribution qui s’exprime avec des caractères de représentations (ce serait même une
somme discrète de traces de représentations si le sous-groupe du centre de G invariant sous ˜
G était un groupe algébrique compact) ; la réduction géométrique avec
d’autres résultats montre, elle, qu’en fait (1) n’est pas du tout une distribution
discrète si elle n’est pas nulle. Cette incompatibilité prouve la nullité cherchée.
Ce qui est intéressant est la traduction de (1) en une égalité de transfert
spectral qui ne fait intervenir que la partie discrète du côté spectral de la formule
des traces ; ce résultat fait partie de la démonstration et se raffine de la façon
suivante. En toute place archimédienne, on fixe un caractère infinitésimal et on
note le produit de ces caractères infinitésimaux, ν. On fixe aussi V un ensemble
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_5
1145
Stabilisation spectrale
X.1 Introduction
Le but de ce chapitre est de finir la stabilisation de la formule des traces tordues.
La méthode est très voisine de celle de [20]. Le principe même de cette méthode due à Langlands et Arthur, est de mener de front des réductions pour
l’expression géométrique et l’expression spectrale de cette stabilisation,
(1)
I
˜
G (ω, f ) −
G
i( ˜
G, G
)SI
G
(f
G
),
où les notations sont expliquées dans le texte mais sont à peu près standard, en
fait, pour être correct, il faut fixer un ensemble fini de places V suffisamment grand
(la condition précise est que V contient l’ensemble V ram défini en [VI] 1.1) et ne
considérer que les fonctions f qui hors de V sont les fonctions caractéristiques d’un
espace compact hyperspecial ; ce n’est qu’avec ce choix de V que les distributions
(vues uniquement pour les places dans V ) sont invariantes pour le côté gauche et
stables pour le côté droit. Dans ce cas seules les données endoscopiques elliptiques
non ramifiées hors de V interviennent dans le membre de droite et il n’y a qu’un
nombre fini de telles données endoscopiques.
Très schématiquement, la réduction spectrale montre que (1) est une distribution qui s’exprime avec des caractères de représentations (ce serait même une
somme discrète de traces de représentations si le sous-groupe du centre de G invariant sous ˜
G était un groupe algébrique compact) ; la réduction géométrique avec
d’autres résultats montre, elle, qu’en fait (1) n’est pas du tout une distribution
discrète si elle n’est pas nulle. Cette incompatibilité prouve la nullité cherchée.
Ce qui est intéressant est la traduction de (1) en une égalité de transfert
spectral qui ne fait intervenir que la partie discrète du côté spectral de la formule
des traces ; ce résultat fait partie de la démonstration et se raffine de la façon
suivante. En toute place archimédienne, on fixe un caractère infinitésimal et on
note le produit de ces caractères infinitésimaux, ν. On fixe aussi V un ensemble
© Springer International Publishing Switzerland 2016
C. Moeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
Progress in Mathematics 317, DOI 10.1007/978-3-319-30058-0_5
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